2.2.5свойства непрерывных функций

Теорема 2.14. Пусть X Rn , f, g : X → Rm непрерывны в x0 X . Тогда f + g , fg и, в случае g(x0) 6= 0 , f/g непрерывны в x0 .

Теорема 2.15. X Rn , Y Rm , f : X → Y , g : Y → Rl , y0 = f(x0) , f непр. в x0 , g непр. в y0 , тогда g(f(x)) непр. в x0 .

Теорема 2.16 (Вейерштрасса). Область значений непрерывной на замкнутом ограниченном множестве функции замкнута и ограничена.

Теорема 2.17 (Больцано—Коши о промежуточном значении). Если f : [a; b] → R

непрерывна на [a; b] и f(a)f(b) < 0 , то существует c (a; b) , для которой f(c) = 0 .

Теорема 2.18. Если f : [a; b] → R непрерывна на [a; b] , то областью значений f является отрезок.

Определение. Множество X Rn называется линейно связным, если для лю-

Открытое линейно связное множество называется областью.

Теорема 2.19. Образ линейно связного множества относительно непрерывной функции также линейно связен.

Теорема 2.20. Если f : (a; b) → R непрерывна и строго монотонна, то существует f−1 : ran f → (a; b) , которая также непрерывна.

2.2.6элементарные функции

Основные элементарные функции.

1)Степенная´ функция: xa , a R \ {0} . Непрерывность.

2)Целые рациональные функции: Pn(x) = a0xn + · · · + an . Непрерывность.

3)Дробные рациональные функции: Pn(x)/Qm(x) , непрерывность.

4)Показательная: ax , a > 0 , a 6= 1 . Непрерывность без доказательства.

5)Тригонометрические функции: sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x) . Непрерывность. Обратные тригонометрические: arcsin(x) , arccos(x) , непрерывность.

6)Гиперболические функции: sh(x), ch(x), th(x), cth(x) .

Определение. Элементарные функции — это функции, полученные из основных элементарных функций путем конечного числа операций +, ?, −, / и суперпозиции.

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров