4.3. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МЕРЫ |
55 |
Замечание. Аналогично доказывается соответствующее неравенство Минковского для сумм:
n |
|xk + yk|p!1/p |
6 |
n |
|xk|p!1/p + |
n |
|yk|p!1/p . |
kX |
|
|
X |
|
X |
|
=1 |
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
При p = q = 2 получаем неравенство треугольника для случая евклидовой метрики на Rn .
4.3Введение в теорию меры
4.3.1мера Жордана на плоскости
Определение . Ячейкой на плоскости (и в Rn ) называется прямое произведение промежутков (прямоугольник). Ячейки называются перекрывающимися, если их внутренности пересекаются, касающимися, если они имеют общие граничные точки, но не имеют общих внутренних точек.
Определение . Мерой (Жордана) ячейки |
= ha; bi × hc; di называется число |
||||
mes |
= (b − a)(d − c) . |
|
|
||
Определение . Покрытием множества X R2 |
называется конечный набор |
||||
ячеек |
1, . . . , k , в объединении которых содержится X . |
||||
Определение. Внешней мерой Жордана ограниченного множества X называ- |
|||||
ется число |
X mes |
|
|||
|
|
|
X = inf |
i, |
|
|
mes |
||||
|
|
|
S |
|
|
ii X i
где inf берется по всем покрытиям множества X . Внутренней мерой Жордана множества X называется число
X
mes X = sup mes i,
S
ii X i
где сумма берется по всем конечным наборам попарно неперекрывающихся(!) ячеек. Ограниченное множество X называется измеримым по Жордану или
квадрируемым (в случае Rn, n > 3, — кубируемым), если mes X = mes X . В этом случае общее значение внутренней и внешней мер обозначается mes X .
Некоторые свойства меры Жордана.
) mes X 6 mes X
) mes X > 0
) если X1 ∩ X2 = и оба множества измеримы, то mes(X1 X2) = mes X1 + + mes X2
http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров