Глава 2
Теория пределов
2.1Предел последовательности
2.1.1определение и свойства, число e
Определение предела последовательности действительных чисел, в том числе и на языке окрестностей, эквивалентность определений. Выражение ‘почти все’. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности, эквивалентность этого аксиоме непрерывности. Свойства пределов:
) xn → a , yn → b , тогда xn + yn → a + b
) xn → a , yn → b , тогда xnyn → ab
) xn → a , yn → b , yn 6= 0 , b 6= 0 , тогда xn/yn → a/b
) xn → a < b , тогда почти все xn < b
) xn → a , тогда |xn| → |a|
) xn → a , yn → b , почти все xn 6 yn , то a 6 b
) (лемма ‘о двух милиционерах’) xn 6 yn 6 zn , xn, zn → a , тогда yn → a
Пример. Определение числа ществования: монотонность:
1 |
|
n |
|
1 + |
|
|
= |
n |
|||
e
n
X
k=0
через последовательность, доказательство су-
n |
1 |
|
n k n |
j + 1 |
|
|
|
! |
|
= 1 + |
kX Y |
− |
, |
k |
nk |
nj |
||||
|
|
|
|
=1 j=1 |
|
|
|
n − j + 1 |
6 |
n + 1 − j + 1 |
1 + |
|
1 |
|
n |
1 + |
1 |
|
|
n+1 |
, |
||||||
nj |
(n + 1)j |
|
n |
|
n + 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||
ограниченность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
j + 1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−nj |
6 j |
1 + n |
|
6 k=0 k!. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
16 |
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ |
( e ≈ 2.71828 )
[Практика: индукция и определение предела]
Теорема 2.1 (о вложенных отрезках).
Если [an; bn] [an+1; bn+1] для всех n N и bn − an → 0 , то
\
[an; bn] = {c}
n
и an → c , bn → c при n → ∞ .
Теорема 2.2 (критерий Коши). {xn}∞n=1 сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует N такой, что для любых n, m > N выполняется неравенство |xn − xm| < ε .
2.1.2бесконечно малые, бесконечно большие величины, их иерархия
Символы o, O , отношение , свойства бесконечно малых (б.м.в.) и бесконечно больших величин (б.б.в.):
) |
o(const) = o(1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
) |
o(1) |
+ o(1) = o(1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
) |
o(1) |
· O(1) = o(1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
) |
o(1) = O(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
) |
xn → a xn − a = o(1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
) |
x |
n |
(x |
= 0) |
— б.б.в. |
(x |
)−1 = o(1) |
||||||||
|
|
|
|
n 6 |
|
n |
|
|
|
|||||||
) |
|
|
2 |
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
2 |
|
1/n |
1/n |
|
|
|
n n n |
|||||||||||
|
1/ n 1 |
|
|
|||||||||||||
Отношения и на последовательностях.
2.1.3 частичные пределы
Определение, примеры. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
Теорема 2.3 (Больцано—Вейерштрасса). Если {xn}∞n=1 — ограничена, то множество ее частичных пределов не пусто.
Определение . Пусть P L(x) — множество частичных пределов ограниченной последовательности x . Тогда
inf P L(x) lim xn; |
sup P L(x) lim xn. |
n→∞ |
n→∞ |