Теорема 6.17 (дифференцирование). Если ряд P∞ un(x) сходится равномерно

n=1

на отрезке [a; b] , функции un(x) непрерывно дифференцируемы на [a; b] и ряд

из производных P∞n=1 u0n(x) сходится равномерно на [a; b] , то u(x) дифференцируема на [a; b] и

∞

u0(x) = X u0n(x).

n=1

6.2.3признаки равномерной сходимости

[привести примеры]

Теорема 6.19 (признак Дирихле). Если частные суммы sn(x) равномерно по n

и x ограничены, а vn(x) монотонно по n и равномерно по x стремится к нулю, то ряд P∞n=1 un(x)vn(x) сходится равномерно на X .

[сравнить с теоремой 4.40]

Теорема 6.20 (признак Абеля). Если ряд P∞ un(x) сходится равномерно на

n=1

X , а vn(x) равномерно по n и x ограничены и монотонны по n , то ряд P∞n=1 un(x)vn(x) сходится равномерно на X .

[сравнить с теоремой 4.41]

Пример. сходимость ряда P∞n=1 n−1 sin(nx) , 0 < ε 6 x 6 2π − ε

6.3Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида P∞n=0 an(x − x0)n . Далее рассматриваем случай только x0 = 0 .

Теорема 6.21. Для любого степенного ряда P∞ anxn существует число R та-

n=0

кое, что в интервале (−R; R) этот ряд сходится, а на множестве R \ [−R; R] расходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда P∞ anxn .

n=0

) число R может быть найдено как предел lim |an/an+1| , если таковой

n→∞

существует