По определению положим также, что

ZZ

Ω = − Ω.

S− S+

Если вектор-функция ¯ задана на кусочно-гладкой поверхности, то ее ин-

W

теграл вычисляется как сумма интегралов по кускам.

5.4.6вычисление п.и. 2-го рода

= (cos α, cos β, cos γ) . Поэтому

ZZ

Ω = (P cos α + Q cos β + R cos γ)dr.

S+ S

Из определения п.и. 2-го рода можно получить и его формулу вычисления через повторный интеграл:

Пример. рассмотреть поверхность, заданную графиком функции z = f(x, y) .

5.4.7формула Стокса

Эта формула обобщает формулу Грина на случай, когда кривая и ограниченная ею область лежат на некоторой гладкой поверхности.

Теорема 5.15 (Стокса). Пусть S — гладкая второго порядка поверхность, вектор-

носитель S . Пусть также на носителе S задан кусочно-гладкий замкнутый контур γ , ограничивающий односвязную область Σ поверхности S и положительно ориентированный. Тогда справедлива формула Стокса:

Z Z

P dx + Qdy + Rdz = (Ry − Qz)dydz + (Pz − Rx)dzdx + (Qx − Py)dxdy.

γ Σ

Если, как и раньше обозначить ω = P dx + Qdy + Rdz и воспользоваться аксиомами исчисления дифференциальных форм, то формула Стокса принимает вид:

ZZ

ω = dω,

∂Σ Σ

где под ∂Σ следует понимать положительно ориентированную границу поверхности Σ .