68 ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
неположительных целых точек, которые являются ее полюсами (т. е. предел(z) в этих точках существует и равен ∞ ). С помощью этой функции определяют факториал комплексного числа как z! = (z + 1) .
) B(a, b) = |
(a) (b) |
|
|
|
|
|
|
|
(a + b) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
) |
(a) (1 − a) = π/ sin(aπ) , |
a (0; 1) |
||||||
) |
(1/2) = 2 Z0∞ e−t2 dt = √ |
|
|
|
(замена x = t2 ) |
|||
π |
||||||||
) |
− 0(1) = γ , где γ — постоянная Эйлера, которая удовлетворяет соот- |
|||||||
ношению |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
1 |
|
|||
|
|
|
kX |
|
|
= ln n + γ + o(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 k
при n → ∞
Приведем также соотношение, связывающее гамма-функцию Эйлера с дзетафункцией Римана:
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
kX |
|
|
|
|
ζ(s) = |
ks ; (s)ζ(s) = H(s), |
|
где H(s) = |
Z0∞ ex − |
=1 |
|
|
1dx . |
|
|
||
|
xs |
1 |
|
|
−
4.7Вопросы для коллоквиума
1.Первообразная и ее свойства.
2.Таблица интегралов.
3.Замена переменной и интегрирование по частям.
4.Метод неопределенных коэффициентов.
5.Метод Остроградского.
6. Вычисление интеграла Z R x, |
ax + b |
! |
r2 |
ax + b |
! |
rm |
! dx . |
|
, . . . , |
|
|
||||
cx + d |
cx + d |
|
7.Подстановки Эйлера.
8.Биномиальный дифференциал.
Z
9.Интеграл R(sin x, cos x)dx .
10.Интегралы, невычислимые в элементарных функциях.
11.Интегральные суммы Римана и Дарбу для функции на отрезке.
4.7. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА |
69 |
12.Определение и свойства интеграла Римана.
13.Теорема о среднем.
14.Формула Ньютона—Лейбница.
15.Замена переменной в определенном интеграле.
16.Интегрирование по частям.
17.Формула Бонэ.
18.Неравенство Гельдера для интегралов и для сумм.
19.Неравенство Минковского для интегралов и для сумм.
20.Площадь криволинейной трапеции и площадь в полярных координатах.
21.Длина дуги гладкой кривой.
22.Объем тела вращения.
23.Поверхность тела вращения.
24.Определение несобственного интеграла, виды сходимости.
1 dx |
dx |
|||
25. Сходимость и расходимость интегралов Z0 |
|
и Z1∞ |
|
. |
xλ |
xλ |
|||
26.Точечная и равномерная сходимость по параметру.
27.Теорема Дини.
28.Признак Абеля сходимости несобственного интеграла с параметром.
29.Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла с параметром.
30.Интеграл Пуассона, бета- и гамма-функции Эйлера.
31.Основные свойства бета- и гамма-функций Эйлера.
http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров