Теорема 4.16. Пусть u, v : [a; b] → R непрерывно дифференцируемы. Тогда

[ R0π ex sin(x)dx ]

4.2.6формула Бонэ

Теорема 4.17. Пусть f непрерывна на [a; b] , g монотонна и непрерывно дифференцируема на [a; b] . Тогда существует число ξ [a; b] такое, что

Z b Z ξ Z b

f(x)g(x)dx = g(a) f(x)dx + g(b) f(x)dx.

a a ξ

4.2.7 неравенства Гёльдера и Минковского

Определение . Функция f , определенная на отрезке [a; b] , абсолютно интегрируема на нем, если |f| интегрируема на данном отрезке. Функция f абсолютно интегрируема с показателем p на отрезке [a; b] , если на данном отрезке интегрируема функция |f|p . При p = 2 говорят, что f суммируема с

квадратом.

Определение . Числа p, q > 0 называются сопряженными показателями, если p−1 + q−1 = 1 .

Теорема 4.18. Пусть функции f и g абсолютно суммируемы на отрезке [a; b] с сопряженными показателями p и q соответственно, а также на данном отрезке интегрируема функция |fg| . Тогда имеет место неравенство Гёльдера:

Замечание. Аналогично доказывается соответствующее неравенство Гёльдера для сумм:

где p и q — сопряженные показатели. При p = q = 2 получаем неравенство Коши—Буняковского.