b)если q Z , то, полагая p = r/s , сводим интеграл ( . ) к интегралу от R(t, (a+

+bt)1/s) , который вычисляется в элементарных функциях заменой u = (a +

+bt)1/s ;

Тем самым доказана

Теорема 4.5. В случаях p — целое, либо (m + 1)/n — целое, либо (m + 1)/n + p — целое, интеграл от дифференциального бинома вычисляется в элементарных функциях.

Теорема 4.6 (Чебышёва). Во всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома не вычисляется в элементарных функциях. [без доказательства]

[пример с x1/3(1 + x1/2)1/3 .]

4.1.5интегрирование тригонометрических выражений

где R(u, v) — рациональная функция.

1) Универсальная подстановка t = tg(x/2) сводит интеграл ( . ) к интегралу

Замечание . Универсальная подставновка в ряде случаев бывает очень трудоемкой, ее желательно избегать.

2)Пусть R(u, v) — нечетная по u , т. е. R(−u, v) = −R(u, v) .

(a)Пусть R — полином. Тогда R = P aklukvl , и в силу нечетности R получаем

тождество aklukvl = −akl (−u)kvl , которое выполняется только для нечетных k , поэтому R имеет вид: uR1(u2, v) , где R1 — некоторая рациональная функция. Далее, заменой t = cos x получаем

sin x · R1(sin2 x, cos x)dx = −R1(sin2 x, cos x)d cos x = R2(t)dt,

где R2 — рациональная функция, t = cos x .

(b) R = P/Q , где P, Q — многочлены. Условие нечетности R может быть выполнено, когда P — нечетный, а Q — четный. Тогда, аналогично (a), получаем, что P (u, v) = uP1(u2, v) , Q(u, v) = Q1(u2, v) . Здесь используется такая же подстановка: t = cos x . Аналогично, когда P — четный, Q — нечетный.

3)R — нечетная по v : R(u, −v) = −R(u, v) . Тогда R(u, v) = vR1(u, v2) , и интеграл ( . ) сводится к интегралу от рациональной функции заменой t =

=sin x .

4)R — четная по обоим аргументам: R(−u, −v) = R(u, v) .

(a)Пусть R = P aklukvl — полином. Тогда равенство (−u)k(−v)l = ukvl дает условие: k + l — четное. Тогда

= tg x сводит интеграл ( . ) к интегралу от рациональной функции.

(b)R = P/Q . Тогда либо P и Q оба четные, и R(u, v) = R1(u/v, v2) , либо оба нечетные: P (−u, −v) = −P (u, v) , Q(−u, −v) = −Q(u, v) . Пусть P = P aklukvl . Из полученного равенства (−u)k(−v)l = −ukvl следует, что k + l — нечетное. Тогда ukvl = v(u/v)k(v2)(k+l−1)/2 , т. е. P (u, v) = vP1(u/v, v2) . Аналогично

Q(u, v) = vQ1(u/v, v2) . Тогда снова получаем, что R(u, v) = R1(u/v, v2) , и интеграл ( . ) вычисляется заменой t = tg x .

[пример с cos−3 x .] Рассмотрим интеграл

Z

Сводим к дифференциальному биному:

− µ−1

sinµ x cosν x dx = − sinµ 1 x cosν x d cos x = −(1 − t2) 2 dt

заменой t = cos x . Из теоремы 4.5 следует, что интеграл ( . ) вычисляется в элементарных функциях, если:

a)µ — нечетное целое;

b)ν — нечетное целое;

c)µ + ν — четное.

В последнем случае применима также подстановка t = tg x .

4.1.6некоторые интегралы, невычислимые в элементарных функциях

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров