3.3Исследование функций

3.3.1экстремумы

Определение точки экстремума (локальный максимум и минимум), строгого экстремума (строгий максимум, минимум).

Теорема 3.19 (необходимое условие экстремума).

Если x0 — точка экстремума f , f определена в окрестности x0 , существует f0(x0) , то f0(x0) = 0 .

Теорема 3.20 (достаточное условие экстремума).

Пусть f : U(x0) → R , существует f0(x) на U˙ (x0) . Тогда:

(a)если f0 меняет знак с + на − при переходе через x0 , то x0 — точка строгого максимума

(b)если f0 меняет знак с − на + при переходе через x0 , то x0 — точка строгого минимума.

Теорема 3.21. Пусть f : U(x0) → R , существует f = 1, n − 1 f(k)(x0) = 0 , существует f(n)(x0) 6= 0 . Тогда

1)если n нечетно, то экстремума нет

2)если n четно, то экстремум есть, причем

(a)если f(n)(x0) < 0 , то строгий максимум

(b)если f(n)(x0) > 0 , то строгий минимум.

3.3.2 наибольшее и наименьшее значение

Поиск точки на отрезке [a; b] , где непрерывная функция f достигает своего максимума или минимума.

3.3.3 выпуклость и точки перегиба

Определение выпуклой вверх и выпуклой вниз (вогнутой) на интервале функции.

Теорема 3.22. f дифференцируема на (a; b) , тогда f выпукла вверх ( вниз ) f0(x) убывает ( возрастает ) .

Следствие 3.2. Если f дважды дифференцируема, то f выпукла вверх ( вниз )

f00 6 0 (f00 > 0) .

Теорема 3.23. Если f дважды дифференцируема и f00 < 0 (f00 > 0) , то f строго выпукла вверх ( вниз ) .

Теорема 3.24. Если f дважды дифференцируема и f00 > 0 , то для x 6= x0 f(x) > f0(x0)(x − x0) + f(x0) .

Определение точки перегиба.