3.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 25

g(y) = f−1(y) , дифференцируемая в точке y0 = f(x0) , и g0(y0) = 1/f0(x0) .

[производные обратных тригонометрических функций]

3.1.5 производные высших порядков

[примеры с xn , ln x , ex ]

3.1.6дифференциалы высших порядков

Определение дифференциала порядка выше первого. Дифференциал n -го порядка от суммы функций и произведения (формула Лейбница). Форма дифференциала порядка выше первого зависит от того, является ли x независимым аргументом или функцией от третьего аргумента.

3.2Основные теоремы о дифференцируемых функциях

3.2.1 теоремы о среднем значении

Теорема 3.5 (Ферма)´ . Пусть f : (a; b) → R дифференцируема, в точке x0 достигает своего max или min . Тогда f0(x0) = 0 .

Теорема 3.6 (Ролля). Пусть f : [a; b] → R непрерывна, дифференцируема на (a; b) и f(a) = f(b) . Тогда существует x0 (a; b) : f0(x0) = 0 .

Теорема 3.7 (Лагранжа)´ . Пусть f : [a; b] → R непрерывна, дифференцируема на (a; b) . Тогда существует x0 (a; b) : f(b) − f(a) = f0(x0)(b − a) .

Следствие 3.1 (теорема о конечном приращении). Пусть f : [a; b] → R непрерывна, дифференцируема на (a; b) . Тогда f(x + x) = f(x) + f0(x + θ x)Δx , где x, x + x [a; b] , 0 < θ < 1 .

Теорема 3.8 (Коши). Пусть f, g : [a; b] → R непрерывны, дифференцируемы на

[Сравнить с теоремой Лагранжа]

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров

3.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 27

[пример с x ln x ]

Теорема 3.13. Пусть f, g : [a; +∞) → R и выполнены условия:

3.2.3 теоремы о монотонных функциях

Теорема 3.14. Пусть f : (a; b) → R дифференцируема на (a; b) . Тогда она возрастает (убывает) f0 > 0 ( f0 6 0 ) на (a; b) .

Теорема 3.15. Пусть f : (a; b) → R дифференцируема. Если f0 > 0 ( f0 < 0 ) на (a; b) , то f строго возрастает (строго убывает).

[контрпример к обратному: x3 ]

Теорема 3.16. Дифференцируемая на (a; b) функция f строго возрастает тогда и только тогда, когда (a) f0 > 0 на (a; b) и (b) множество E = {x| f0(x) = 0} не имеет внутренних точек ( int E = ).

3.2.4формула Тейлора

Теорема 3.17 (Тейлора—Пеано). Пусть f непрерывно дифференцируема (n−1) раз в окрестности точки x0 и n раз дифференцируема в точке x0 . Тогда при x → x0

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + f00(x0)(x − x0)2 + · · · + f(n)(x0)(x − x0)n + o ((x − x0)n) , 2! n!

где o ((x − x0)n) — остаточный член в форме Пеано.

Теорема 3.18 (Тейлора—Лагранжа). Пусть f имеет n+1 производную в окрестности x0 . Тогда для любого x их данной окрестности существует ξ (x; x0) (x0; x) такая, что

http://rishelie.by.ru/files/Math/Work/mathan.pdf c Н. И. Казимиров