5.2. Функция неопределенности в теории разрешения

Ранее отмечалось, что статистическая интерпретация позволяет переформулировать любую задачу разрешения в терминах обнаружения, различения, измерения параметров сигналов Подобная трансформация подразумевает расшифровку конкретной цели разрешения и введение подходящих новых моделей сигналов и помех, адекватных исходной постановке. С учетом этого можно успешно применять развитый в предыдущих главах аппарат для статистического синтеза оптимальных в том или ином смысле алгоритмов и устройств разрешения сигналов. В специальной литературе можно найти многочисленные примеры такого рода решений, от обсуждения которых на страницах данной книги придется воздержаться, во-первых, из-за ограниченного объема, а во-вторых, вследствие того, что с методологической точки зрения соответствующие задачи не новы по сравнению с рассмотренными ранее. Более важным представляется изучить влияние законов и параметров модуляции сигналов на разрешающую способность и критерии рационального выбора сигналов, связанные с характеристиками разрешающей способности. Начнем со следующей задачи. Пусть необходимо установить, отсутствует или присутствует на входе некоторого устройства полезный радиосигнал с комплексной огибающей, имеющий значение некоторого неэнергетического параметра, равное υ. Для того чтобы выяснить, какая форма (закон модуляции, структура) сигнала S (t; υ) является оптимальной для данной задачи, следовало бы, согласно (2.15), найти значения ФП при гипотезах Н₀ и Н₁ (если известно априорное распределение ) и, составив ОП, получить оптимальное правило разрешения — обнаружения. После этого вычисление вероятностей ошибок р_лт, р_пс позволило бы выявить их зависимость от функции S(t, υ), а следовательно, определить и наилучшую форму сигнала. Однако, пожертвовав точными количественными зависимостями, можно на качественном уровне проследить связь характеристик разрешения с законом модуляции сигнала S (t; υ). Действительно, при фиксированных значениях и гипотезы H₀ и H₁ будут тем заметнее отличаться одна от другой, чем больше евклидово расстояние между парой сигналов, так как в соответствии с (5.1) проверка Н₀ относительно H₁ и есть различение двух названных сигналов. Так как квадрат евклидова расстояния равен энергии разности сигналов, то

где _∆ = - .

Следовательно, для максимизации минимального значения квадрата евклидова расстояния т. е. обеспечения по возможности лучшей разрешающей способности [различимости гипотез] в условиях, когда мешающий сигнал проявляет себя наиболее неблагоприятным образом, следует стремиться к минимизации уровня ФН χ.

Таким образом, качественный вывод, к которому привел анализ задачи разрешения — обнаружения, состоит в том, что показатели разрешения по неэнергетическому параметру υ, сигналов «расстроенных» по υ на υ — υ₀, тем выше, чем ниже уровень ФН χ(υ₀, υ). При стационарной ФН можно положить υ₀ = 0, тогда величина ФН будет характеризовать качество разрешения двух сигналов, значения неэнергетического параметра которых отличаются на υ. Следовательно, зависимость качества разрешения от формы сигнала проявляется в «управлении» разрешающей способностью через уровень ФН χ (υ).

К аналогичным выводам привело бы и рассмотрение более сложных статистических задач разрешения, а также детерминистический анализ разрешающей способности на основе рэлеевского критерия. В заключение отметим, что любое разрешение основывается на различиях расстроенных на υ копий сигнала. Следовательно, чем заметнее отличаются друг от друга эти копии, тем легче их разрешить. Мерой же отличия либо, наоборот, сходства двух копий сигнала, расстроенных по неэнергетическому параметру на X, а также по начальной фазе на непредсказуемое значение, служит ФН.