2.2. Спектр непериодических сигналов
Изобразим
периодический сигнал x(t)
(рис. 2, а).
Оставим неизменной функцию в интервале
,
а период T0
устремим в бесконечность T0.
Получим 0=2/T0,
и из формулы (2) Ак.
При этом (рис. 2, б)
расстояние между составляющими спектра
становится бесконечно малым, бесконечно
малой становится и амплитуда каждой
гармоники. Понятие «амплитудный спектр»
заменяется понятием «спектральная
плотность амплитуд»
с размерностью амплитуды на единицу
частоты В/рад,
или S(f
)
В/Гц.
В отличие от спектра периодических колебаний, спектр которых является дискретным, спектр непериодических колебаний – сплошной.
Рис. 2. Непериодический сигнал и его спектр
Между
непериодическим сигналом x(t)
и его спектром
существует связь в виде преобразований
Фурье:
(3)
(4)
называется
также спектральной функцией, эта функция
четная, убывающая с ростом частоты.
Спектральная функция с точностью до
постоянного множителя
совпадает с огибающей спектра амплитуд
Аk.
2.3. Спектральная функция одиночного прямоугольного импульса
Рассмотрим одиночный импульс прямоугольной формы длительностью , амплитудой Um (рис. 3, а). Спектральная функция импульса
может быть получена через математическое описание сигнала x(t):
Тогда
.
Рис. 3. Одиночный прямоугольный импульс и его спектр
Воспользуемся формулой Эйлера:
.
Обозначив
Um
= q
– площадь импульса, имеем
.
Таким образом, спектр прямоугольного
видеоимпульса описывается функцией
вида y
=
sin x/x.
График
безразмерной функции
показан на (рис. 3, б).
Оценим
поведение функции.
.
Таким образом, функция максимальна при
=f
=
0.
Найдем
значения частот, при которых функция
пересекает ось абсцисс:
при
= n,
n
=
1,2…. Отсюда,
.
Участки от 0 до
,
от
до
и т. д. называются лепестками спектра.
Основная часть энергии импульса (около
90 %) сосредоточена в первом лепестке, а
вся острота импульса в более дальних,
т. е. верхних лепестках. Если максимальное
значение первого лепестка равно единице,
высота второго равна приблизительно
0,22, высота третьего – 0,13.
При уменьшении длительности импульса в n раз, в n раз увеличивается ширина каждого лепестка.
2.4. Спектр последовательности видеоимпульсов
Рассмотрим последовательность видеоимпульсов прямоугольной формы со скважностью Q = T0/ = 5 (рис. 4, а).
Огибающая спектра периодической последовательности видеоимпульсов с точностью до постоянного множителя повторяет спектральную функцию одиночного импульса: Ak = (2/T0)S(). Используя эту формулу, можно определить амплитуду любой гармоники, например А6:
=
– 0,0623 В, если Um
=
1 B.
Рис. 4. Последовательность видеоимпульсов и ее спектр
Гармоника, кратная скважности, равна нулю. Частота первой гармоники определяется через период: f1=1/T0.
Рассмотренный нами спектр – это спектр последовательности с числом импульсов n.
Рассмотрим, как изменяется спектр бесконечной во времени последовательности при изменении скважности видеоимпульсов (рис. 5).
Рис. 5. Изменение спектра последовательности видеоимпульсов при изменении скважности
Увеличение скважности эквивалентно уменьшению частоты следования видеоимпульсов при постоянной их длительности. Число полос в каждом лепестке увеличивается, амплитуды их пропорционально уменьшаются, в пределе спектр также переходит в спектральную плотность амплитуд.
2.5. Дельта-функция
Дельта-функция
может быть получена из прямоугольного
импульса при
0
и неизменной площади (рис. 6):
Рис. 6. Дельта-функция и ее спектр
.
Площадь
импульса
.
Спектр дельта-функции (t) – совокупность бесконечного числа гармонических колебаний, имеющих одинаковые амплитуды на всех частотах 0….
3. Оборудование и приборы
Лабораторная работа выполняется в математическом пакете Mathcad.
4. Программа выполнения работы
4.1. Подготовка к работе
4.1.1. Изучить теоретическую часть работы (п. 2).
4.1.2. Ответить на контрольные вопросы (п. 6).
4.2. Экспериментальная часть работы
4.2.1. Исследование последовательности видеоимпульсов
4.2.1.1. Открыть программу Mathcad. В новом рабочем листе задать параметры сигнала:
– продолжительность сигнала, с: tc := 1
– количество отсчетов в единицу времени (частота дискретизации), Гц:
– интервал дискретизации (интервал времени между соседними отсчетами):
– временной вектор отсчетов сигнала: t := 0..fd·tc – 1
– период следования импульсов, с: T := 0.1
– длительность импульсов, с: τ := 0.01
– длительность межимпульсного интервала, с: t2 := T – τ
– амплитуда видеоимпульсов, В: AUv := 1
4.2.1.2. Задать выражения для расчета значений сигнала:
Построить график последовательности видеоимпульсов, указав на нем по оси абсцисс величину t·Δ, а по оси ординат Uvt. На графике показать линии сетки. Зарисовать график, показать величины, откладываемые по осям и их размерности.
4.2.1.3. Задать выражения для расчета спектра последовательности видеоимпульсов:
Построить график спектра последовательности видеоимпульсов, указав на нем по оси абсцисс величину f, а по оси ординат |SUvf|. На оси частот задать диапазон от 0 до 300 Гц. На графике показать линии сетки. Зарисовать график, показать величины, откладываемые по осям и их размерности.
4.2.1.4. По графику спектра последовательности видеоимпульсов сделать выводы, ответив на вопросы:
– какова форма огибающей спектра?
– чему равна ширина лепестка спектра?
– сколько гармоник содержит один лепесток спектра?
– чему равна частота первой гармоники спектра?
Привести выражения, связывающие временные и частотные характеристики последовательности видеоимпульсов.
4.2.1.5. Увеличить длительность видеоимпульсов в два раза. По графику спектра последовательности видеоимпульсов сделать выводы, ответив на вопросы:
– как изменилась амплитуда огибающей спектра?
– как изменилась ширина лепестка спектра?
– как изменилось количество гармоник в одном лепестке спектра?
– как изменилась частота первой гармоники спектра?
4.2.1.6. Увеличить в два раза период следования видеоимпульсов. По графику спектра последовательности видеоимпульсов сделать выводы, ответив на вопросы:
– как изменилась амплитуда огибающей спектра?
– как изменилась ширина лепестка спектра?
– как изменилось количество гармоник в одном лепестке спектра?
– как изменилась частота первой гармоники спектра?