2. Сведения из теории

2.1. Общие сведения

Первая производная от функции распределения F(x) называется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) мгновенных значений случайного процесса (СП) или дифференциальным законом распределения СП: и может определяться как предел, к которому стремится вероятность попадания СП в некоторый интервал x при x0: .

Соответственно, вероятность попадания мгновенного значения СП в какой-либо заданный интервал (а, b) определяется выражением

.

Очевидно, что площадь, лежащая под кривой f(x), всегда равна единице (это вероятность достоверного события):

.

Если же x является дискретной случайной величиной и может принимать лишь одно из конечного числа дискретных значений, то предыдущее выражение примет вид

,

где P_i – вероятность, соответствующая дискретному значению x_i.

Плотность распределения вероятностей мгновенных значений СП тем больше, чем большее время он существует при данном значении.

Существует большое число изученных видов распределений, отличающихся друг от друга формой кривой f(x).

2.2. Плотность распределения вероятностей постоянного сигнала

Постоянный сигнал имеет одно и то же значение A в любой момент времени. Поэтому его ПРВ равна единице при x = A и равна нулю при остальных значениях x. На графике функция представляет собой отрезок единичной длины, расположенный на оси x при x = A (рис. 18).

Рис. 18. Постоянный сигнал и его ПРВ

2.3. Плотность распределения вероятностей прямоугольных импульсов

Для сигнала, изображенного на рис. 19, имеют место дискретные значения вероятностей, т.к. с вероятностью, пропорциональной времени, сигнал может принимать то или иное дискретное значение. Соответственно, плотность распределения вероятностей будет дискретной.

Рис. 19. Последовательность прямоугольных импульсов и ее ПРВ

2.4. Плотность распределения вероятностей треугольных импульсов

Равномерное распределение имеет место, когда значения процесса с равной вероятностью можно встретить в любом интервале x внутри диапазона изменения сигнала. Такое распределение характерно, например, для последовательности треугольных импульсов, следующих друг за другом без интервалов (рис. 20).

Рис. 20. Последовательность треугольных импульсов и ее ПРВ

2.5. Плотность распределения вероятностей шума

Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи (шумов). Он очень удобен для анализа.

Вид кривой плотности вероятности мгновенных значений нормального СП определяется выражением: , где – среднее значение СП, σ – среднее квадратическое отклонение.

В зависимости от величины  кривые будут отличаться друг от друга (рис. 21).

Рис 21. Нормальное распределение при различных значениях 

Считается, что практически все (с вероятностью 0,997) значения процесса попадают в интервал ±3. Отсюда, полный размах нормального СП равен приблизительно 6.

Реальные СП весьма часто близки к нормальным. Известно, что распределение суммы достаточно большого числа СП (больше 5) с произвольным законом распределения, среди которых нет преобладающих, является нормальным. Это – следствие т. н. центральной предельной теоремы.

3. Оборудование и приборы

Лабораторная работа выполняется в математическом пакете Mathcad.

4. Программа выполнения работы

4.1. Подготовка к работе

4.1.1. Изучить теоретическую часть работы (п. 2).

4.1.2. Ответить на контрольные вопросы (п. 6).

4.2. Экспериментальная часть работы

4.2.1. Исследование плотности распределения вероятностей постоянного сигнала

4.2.1.1. Открыть программу Mathcad. В новом рабочем листе задать параметры периодического сигнала (последовательности видеоимпульсов):

– продолжительность сигнала, с: tc := 10

– количество отсчетов в единицу времени (частота дискретизации), Гц:

– интервал дискретизации (интервал времени между соседними отсчетами):

– временной вектор отсчетов периодического сигнала: t := 0..fd·tc – 1

– уровень постоянного сигнала, В:

AUп := 2

– выражение для вычисления постоянного сигнала:

4.2.1.2. Построить временной график постоянного сигнала, отложив по оси абсцисс графика величину t·Δ, а по оси ординат – величину Uпост_t. По оси ординат задать интервал от 0 до 3 В. Зарисовать получившийся график.

4.2.1.3. Задать выражения для расчета гистограммы распределения значений сигнала:

– количество столбцов гистограммы: n := 100

– номера столбцов гистограммы: l := 0..n

– ширина интервала гистограммы, В: Δh := 0.04

– ряд интервалов гистограммы: V_l := Δh·l

4.2.1.4. Построить график распределения значений постоянного сигнала. На графике по оси абсцисс указать величину V_l, а по оси ординат – величину Hпост_l. В настройках графика указать тип линии «solidbar». На графике показать линии сетки. Зарисовать получившийся график и пояснить его характер.