5. Содержание отчета

5.1. Титульный лист.

5.2. Формулировка цели лабораторной работы.

5.3. Расчетные выражения, графики и выводы по ним в соответствии с программой выполнения работы.

5.5. Выводы по лабораторной работе.

6. Контрольные вопросы

6.1. Дайте определение плотности распределения вероятностей (ПРВ) мгновенных значений СП.

6.2. Какой сигнал имеет дискретную ПРВ?

6.3. Будет ли ПРВ треугольных импульсов равномерной, если между импульсами создать интервалы?

6.4. Почему нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин имеет большое практическое значение?

6.5. В чем заключается физический смысл следствия центральной предельной теоремы?

6.7. В каком диапазоне будут лежать практически все значения нормального случайного процесса со средним квадратическим отклонением  = 1,7 В?

Лабораторная работа № 6 Исследование теоремы отсчетов (теоремы котельникова)

На выполнение лабораторной работы отводится 2 академических часа.

1. Цель работы

Исследование теоремы отсчетов (теоремы Котельникова).

2. Сведения из теории

2.1. Общие сведения

При дискретизации выборками в качестве координат сигнала используются текущие (мгновенные) значения сигнала в фиксированные моменты времени, т. е. s(t₁), s(t₂), ..., s(t_k). Координаты s_k = s(t_k) обычно называют выборками, или отсчетами, моменты времени t₁, t₂, ..., t_k – точками опроса, а сам процесс формирования таких координат – опросом или дискретизацией (рис. 22). Заметим, что последовательность выборок может рассматриваться как сигнал с амплитудно-импульсной модуляцией.

Рис. 22. Дискретизация непрерывного сигнала

Мгновенные выборки могут быть представлены в виде дельта-функций δ(t_k). площадь которых равна амплитуде выборки s(t_k) в момент отсчета.

При регулярном опросе точки опроса t₁, t₂, ..., t_k образуют на оси времени t регулярную последовательность с интервалом времени t, называемым интервалом дискретизации.

Частота дискретизации f_д = 1/t при регулярном дискретном представлении выбирается заранее и остается неизменной в течение всего сеанса работы системы.

2.2. Теорема Котельникова

Основополагающей теоремой теории дискретного регулярного представления по выборкам является теорема Котельникова. В соответствии с этой теоремой возможно со сколь угодно высокой точностью восстановить любой непрерывный детерминированный или случайный процесс (сигнал) s(t) по его дискретным регулярным выборкам при следующих условиях:

1. Процесс имеет ограниченный спектр (например, от 0 до F_c (частоты среза – наибольшей частоты в спектре процесса));

2. Процесс наблюдается бесконечное время (Т→∞);

3. Выборки сообщения формируются с частотой дискретизации f_д ≥ 2f_c;

4. Восстановление процесса ведется по точным (незашумленным) значениям выборок в форме ряда Котельникова

,

где t_k = kt – момент взятия отсчета.

Особенностью ряда является то, что в моменты t_k значения ряда определяются только k-ым членом разложения, т.к. все другие члены ряда в этот момент обращаются в нуль:

при .

Такая функция (вида ) называется функцией отсчетов.

При передаче непрерывных сообщений импульсными методами всегда встает вопрос не только о дискретном представлении таких сообщений на передающей стороне выборками, но и об его восстановлении на приемной стороне по переданным дискретным значениям (выборкам). Этот процесс восстановления называют интерполяцией.

Графически процесс восстановления сигнала по отсчетам и соответствующим им функциям отсчетов приведен на рис. 23.

Рис. 23. Процесс восстановления сигнала по отсчетам

Видно, что при восстановлении используются как правые, так и левые ветви функции отсчетов. Практическая реализация приемника, восстанавливающая непрерывный сигнал, возможна, если в нем с приходом каждого нового импульса-отсчета генерировать соответствующую функцию. Функция вида представляет собой импульсную реакцию идеального фильтра низких частот. Поэтому в качестве приемника можно использовать ФНЧ.

На рис. 24 показаны графики функции отсчетов, передаточные функции и импульсные реакции идеального (1) и реального (2) ФНЧ.

Отсутствие левых ветвей на графиках импульсной реакции объясняется невозможностью получения отклика раньше воздействия. При восстановлении происходит задержка сигнала на t.

Таким образом, если в приемнике поместить ФНЧ и пропустить через него последовательность с частотой 2f_с коротких импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам непрерывного сигнала, то в ФНЧ будут суммироваться отклики и будет воспроизведен исходный сигнал.

Рис. 24. Графики функции отсчетов, передаточные функции и импульсные реакции идеального (1) и реального (2) ФНЧ

Следует отметить, что теорема Котельникова дает лишь предельные (потенциальные) соотношения для определенных идеализированных условий, основными из которых являются ограниченность спектра и бесконечное время наблюдения. К этим предельным соотношениям можно лишь стремиться, никогда их не достигая.

При воспроизведении непрерывного сигнала из дискретного возможны ошибки за счет следующих причин:

1. Время сигнала Т конечно, следовательно, его спектр бесконечен, поэтому его ограничивают диапазоном 0...f_с, где сосредоточена основная часть энергии сигнала. Относительная погрешность (t) при этом будет пропорциональна отсеченной части энергии:

;

2. Число членов ряда конечно, и бесконечный ряд Котельникова заменяется приближенным:

;

3. Отклик реального ФНЧ отличается от кривой вида .

Абсолютная погрешность восстановления |(t)| на отрезке существования сигнала неравномерна: в моменты t_k она близка к нулю, нарастает к середине интервала между отсчетами и увеличивается к краям дискретизируемого отрезка, где отсекаются ветви функции отсчетов. На рис. 25 показан вид восстановленного сигнала с неограниченным спектром и график абсолютной погрешности |(t)|:

Рис.25. Восстановленный сигнал и абсолютная погрешность восстановления

При передаче отсчетами случайных сигналов интервал дискретизации можно определять через интервал корреляции  :

t <  ; T >> . ( критерий Железнова).

3. Оборудование и приборы

Лабораторная работа выполняется в математическом пакете Mathcad.

4. Программа выполнения работы

4.1. Подготовка к работе

4.1.1. Изучить теоретическую часть работы (п. 2).

4.1.2. Ответить на контрольные вопросы (п. 6).

4.2. Экспериментальная часть работы

4.2.1. Открыть программу Mathcad. В новом рабочем листе задать параметры непрерывного сигнала – синусоидальной функции x(t) (эту функцию можно считать «непрерывной», так как интервал дискретизации очень мал):

– продолжительность сигнала, с: tc := 10

– количество отсчетов в единицу времени (частота дискретизации), Гц:

– интервал дискретизации (интервал времени между соседними отсчетами):

– временной вектор отсчетов синусоидального сигнала:

– амплитуда синусоидального сигнала, В:

AU := 1

– частота синусоидального сигнала, Гц:

f := 1

– выражение для вычисления синусоидального сигнала:

4.2.2. Построить временной график «непрерывного» синусоидального сигнала, отложив по оси абсцисс графика величину t, а по оси ординат – величину X(t). По оси ординат задать интервал от –1,5 до 1,5 В. На графике показать линии сетки. Зарисовать получившийся график.

4.2.3. Задать выражения для расчета дискретной синусоидальной функции:

– коэффициент избыточной дискретизации (показывает, во сколько раз частота дискретизации сигнала больше минимально требуемой по Котельникову частоты):

m := 1.5

– интервал дискретизации синусоиды:

– отсчеты времени дискретного синусоидального сигнала:

– выражение для вычисления дискретного синусоидального сигнала:

4.2.4. Построить временной график дискретного синусоидального сигнала, отложив по оси абсцисс графика величину i·Δt, а по оси ординат – величину g_i.

По оси ординат задать интервал от –1,5 до 1,5 В. На графике показать линии сетки. В настройках графика указать тип линии «points», толщину линии «3».

Зарисовать получившийся график.

4.2.5. Восстановить по дискретному синусоидальному сигналу исходный «непрерывный» сигнал по теореме Котельникова с помощью выражения

Построить график восстановленного сигнала, указав по оси абсцисс величину t, а по оси ординат – величину Xвосст(t). По оси ординат задать интервал от –1,5 до 1,5 В. На графике показать линии сетки.

4.2.6. Задать выражение для определения абсолютной погрешности восстановления:

Построить график абсолютной погрешности восстановления, указав по оси абсцисс величину t, а по оси ординат – величину δ(t). По оси ординат задать интервал от 0 до 1,5 В. На графике показать линии сетки.

4.2.7. Проанализировать график, ответив на следующие вопросы:

– в какие моменты времени абсолютная погрешность восстановления близка к нулю?

– в какие моменты времени абсолютная погрешность восстановления достигает максимумов?

– как изменяется по величине абсолютная погрешность восстановления при приближении к концу дискретизируемого сигнала?