§ 9.2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1. Aйнымалылары ажыратылатын (бөлінетін) теңдеулер. Енді бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер түрлерін шешудің немесе интегралдарын табудың жолдарына (тәсілдеріне) көшейік. Айталық,

(9.8)

түрінде берілген теңдеу, симметриялық түрдегі бірінші ретті айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы және  сәйкес ( ) және ( ) аралықтарында анықталған функциялар. Кейбір кездері (9.8) теңдеу

(9.9)

түрінде де беріледі. Жоғарыдағы сияқты  ( ),( ) аралықтарында анықталған функциялар .

Егер ( ) және ( ) болса (9.8) теңдеудің екі жағында шамасына бөлу арқылы

(9.10)

айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу аламыз. Енді бірінші ретті дифференциалдың инварианттық қасиетін ескере отырып (9.10) теңдеудің екі жағын да интегралдасақ,

(9.11)

берілген (9.8) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын аламыз. Егер кейбір нүктелерде, немесе болса, онда басқа шешімдер пайда болады. Мысалы, теңдеуінің түбірі болса, онда шамасын (9.8) теңдеуіне қойсақ

тепе-теңдігін аламыз. Себебі және . Демек,  (9.10) дифференциалдық теңдеудің шешімі. Дәл осы сияқты теңдеуінің түбірі болатын шамасы да берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болады.

M.2^. дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін (интегралын) табайық.

Шешуі. Берілген теңдеуді түрлендіру арқылы (9.10)  айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз 

(^)

мұндағы .

Енді (^) теңдеудің екі жағында ², шамасына бөлу арқылы, Бұл теңдеуді сәйкес айнымалылар бойынша интегралдасақ:

 берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын аламыз. Соңғы теңдікті бойынша анықтасақ, теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

M.3^. дифференциалдық теңдеуінің бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімін табайық.

Шешуі. Алдымен берілген теңдеуді дифференциалдық (9.8) түрге келтіріп, айнымалыларын ажыратып интегралдасақ,

 берілген теңдеудің жалпы шешімін (интегралын) аламыз. Бастапқы шартты қолдану арқылы, интегралдық тұрақты -ның мәнін табамыз:

Демек, берілген дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі .

Студенттің өзіндік тапсырмасы

Енді жиі кездесетін

(9.12)

түріндегі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық.

Бұл теңдеудің оң жағындағы үшмүшелікті -тен тәуелді басқа функциямен алмастыру арқылы,

(9.13)

айнымалылары ажыратылатын теңдеу аламыз.

Егерде болса, (9.12) теңдеудің жалпы шешімі

(9.14)

түрді қабылдайды.

2. Біртекті дифференциалдық теңдеулер. Aйталық, функциясы берілсін. Егер кез келген R  нақты саны үшін,

(9.15)

теңдігі орындалатын болса, онда функциясы - шы ретті біртекті функция деп аталады. Мысалы:  үшінші ретті біртекті функция;

 нөлінші ретті біртекті функция.

Егер  бірдей ретті біртекті функциялар болса, онда 

(9.16)

біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Енді біртекті дифференциалдық теңдеуді интегралдау жолдарын көрсетейік. Ол үшін (9.16) теңдеудің екі жағын да шамасына көбейту арқылы, функцияларын түрлендіреміз. Сонымен,

(^)

Егерде ретті біртекті функциялар болса, онда (9.16) теңдеудің екі жағын да шамасына бөлу арқылы, (^)теңдіктерді ескере отырып,

(9.17)

теңдеуін аламыз. Осы алынған теңдікке

(9.18)

ауыстыруын қолдансақ, түрлендірілген (9.17) теңдеу айнымалылары ажыратылған теңдеуге айналады. Шынында да, (9.17) теңдеугe (9.18) ауыстыруды қолдансақ,

айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Ал оны шешу алдыңғы 1-пунктте келтірілген.

М.5^. теңдеуін интегралдайық.

Шешуі. Берілген теңдеудегі функцияларын біртектілікке тексерейік 

Демек, бірінші рeтті біртекті функциялар. Ал берілген теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу, яғни

Бұл теңдеу айнымалылары ажыратылған теңдеу. Ендеше,

Берілген теңдеудің жалпы интегралын алдық. Бұған қоса шамасы да берілген теңдеудің шешімі болатындығына oңай көз жеткізуге болады.

Ескерту. Кей кездері біртекті теңдеулерді айнымалысын -тің функциясы, яғни түрінде интегралдау ыңғайлы болады. Бұл кезде ауыстыруын енгіземіз.

Студенттің өзіндік тапсырмасы

Енді біртекті дифференциалдық теңдеуге келтірілетін

(9.19)

түріндегі теңдеуді қарастырайық.

Ол үшін ескі және айнымалыларының орнына жаңадан

, (9.20)

теңдіктері арқылы және айнымалыларын енгіземіз. Мұндағы  кейбір сандар.

Бұл кезде болады да, берілген (9.19) теңдеу түрін қабылдайды. Мұндағы сандарын, соңғы теңдеу біртекті теңдеуге айналатындай етіп таңдауымыз керек. Ол үшін, ол теңдеудің белгілі бір бөлігін, яғни сандары:

(9.21)

теңдеулер жүйесін қанағаттандыратындай етіп аламыз.

Егер негізгі анықтауыш болса, онда (9.21) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана шешімі болатын сандары табылып, берілген (9.19) теңдеу жаңа және айнымалылары арқылы біртекті дифференциалдық теңдеуге айналады

(^)

Ендeше, ауыстыруын жасау арқылы ()теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз. Оны шешу жолдары жоғарыда келтірілген.

Егерде қатынастары орындалатын болса, онда белгілеулерін енгізу арқылы, (9.19) теңдеу

түріне келтіріледі. Соңғы теңдеуге ауыстыруын енгізіп, (9.19) теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеуге келтіреміз.

Ал қатынастары орындалатын болса, онда берілген (9.19) теңдеудің оң жағы тұрақтыға айналып түрін қабылдайды.

М.6^. дифференциалдық теңдеуін шешейік (интегралдайық).

Шешуі. Ол үшін (9.20) бойынша Oнда берілген теңдеу түрін қабылдайды. Ендеше,

Демек,

берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын алдық.

3. Сызықты дифференциалдық теңдеулер. Ізделінетін функциясы және оның туындысы арқылы сызықты болатын,

(9.22)

теңдеуі бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы кесіндісінде үзіліссіз функциялар. Егер болса,

(9.23)

біртекті сызықты дифференциалдық теңдеу, ал болса, біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп аталады.

9.2. Теорема. Егер кесіндісінде үзіліссіз болса, онда осы кесіндіде (9.22) теңдеудің үшін, - бастапқы шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі болады.

Бұл теореманың дәлелдеуін келтірместен бұрын, бірінші ретті (9.22) сызықты дифференциалдық теңдеуді интегралдаудың тәсілдерінің кейбіреулеріне тоқталайық.

1^. Айнымалыларды алмастыру (Бернулли) тәсілі. Бұл тәсіл бойынша (9.22) теңдеудің шешімін

(9.24)

түрінде іздейміз. Мұндағы интервалында үзіліссіз дифференциалданатын функциялар. Онда (9.24) теңдіктің туындысы болады да, (9.22) теңдеу

(1)

түрін қабылдайды. Демек, функциясы үшін (9.21) біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін алуға болады. Ендеше (1) теңдіктегі квадрат жақша ішіндегі

(2)

 айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Сондықтан,

(3)

Мұндағы  интегралдық тұрақты. Енді (2) және (3) теңдіктерді ескере отырып, (1) дифференциалдық теңдеуді шешеміз 

(4)

Мұндағы тағы да интегралдық тұрақты.

Сонымен, (4) және (3) теңдіктерді (9.23) теңдігіне қою арқылы, берілген (9.22) бірінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін (интегралын) аламыз.

Aл  көбейтіндісі тұрақты кейбір сан болғандықтан оны бір тұрақтымен алмастыруға болады. Ендеше, іздестіріліп отырған шешім

(9.25)

өрнегімен анықталады.

М.7^. теңдеуін шешейік.

Шешуі. Келтірілген тәсіл бойынша ^ болғандықтан, берілген теңдеу

түріне көшеді. Онда (1)-(4) өрнектерді қолдану арқылы

Онда (9.24) бойынша берілген теңдеудің жалпы шешімін (интегралын) аламыз.

Студенттің өзіндік тапсырмасы

2^. Ерікті тұрақтыны вариациялау (Лагранж) тәсілі. Бүл тәсіл бойынша, алдымен (9.31) теңдеуді, айнымалылары ажыратылатын біртекті теңдеуді шешуден бастаймыз 

(5)

мұндағы  ерікті интегралдық тұрақты. Енді тұрақтыны вариациялау тәсілі бойынша берілген біртекті емес (9.22) сызықты дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін, (5) теңдіктегі  ерікті тұрақтыны дифференциалданатын функция ретінде қарастырып, (9.22) теңдеуге апарып қоямыз:

(6)

Енді (6)  мәнін (5) теңдікке қою арқылы

(9.26)

жоғарыдағы алынған (9.34)  берілген (9.31) теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

М.8^. дифференциалдық теңдеудің бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімін табайық.

Шешуі. Алдымен  біртекті теңдеуді шешеміз:

(^)

Енді соңғы тәсіл бойынша,  дифференциалданатын функция ретінде қарастырып, және өрнектерін берілген дифференциалдық теңдеуге қою арқылы:

(^)

Табылған өрнегін (^)теңдігіне қою арқылы,

берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

Келесі қадам бастапқы шартты қолдану арқылы ерікті тұрақтыны анықтаймыз Демек, берілген теңдеудің, берілген бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімі  болып шығады.

3^. Интегралдық көбейткіш тәсілі. Сызықты біртекті емес (9.24) дифференциалдық теңдеуге арналған функциясын қарастырайық. Берілген (9.24) теңдеудің екі жағын да оған көбейткенде

(^)

теңдігінің сол жағындағы өрнек, көбейтінді функциясының туындысы болатындай, яғни

(^)

теңдігі орындалатындай  функциясын іздейміз. Осы теңдіктен, болғандықтан,

(9.27 )

функциясын аламыз. Демек, іздеп отырған функциясы табылды. Ендеше, (^)және (^) теңдіктерін пайдаланып, (9.27)-ке сәйкес

берілген (9.24) теңдеудің жалпы   үйреншікті  шешімін аламыз.

Ал табылған функциясы сызықты дифференциалдық теңдеуге арналған интегралдық көбейткіш деп аталады.

M.9^. Интегралдық көбейткіш тәсілімен дифференциалдық теңдеуінің бастапқы шартын қанағаттандыратындай дербес шешімін табайық.

Шешуі. Берілген теңдеуде болғандықтан, интегралдық көбейткіш

болады. Ендеше, берілген екі теңдіктің екі жағын да осы функцияға көбейтеміз.

Енді берілген бастапқы шартты пайдаланамыз.

Берілген Коши есебінің шешімін аламыз.

Ескерту. Кей кездері берілген теңдеу функциясына байланысты сызықты дифференциалдық теңдеу, яғни

(9.28)

түрін қабылдайды. Бұл кезде, теңдеудің шешімін Бернулли тәсілі бойынша - , ал интегралдық көбейткіш түрінде ізделінеді.

2-ДӘРІС

4. Бернулли теңдеуі. нақты саны үшін,

^ (9.29)

түрінде берілген теңдеу, Бернулли теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеудің дербес жағдайлары а) болғанда  айнымалылары ажыратылатын теңдеу

ә) болғанда, (9.22)  сызықты дифференциалдық теңдеу аламыз. Демек, .

Бернулли теңдеуін шешу үшін, оны сызықты дифференциалдық теңдеуге келтіреміз. Ол үшін (9.29) теңдеудің екі жағын да деп алып, ^- шамасына көбейтеміз (  болғанда Бернулли теңдеуінің шешімі болатындығы бірден көрінеді). Сонымен 

. (^)

Енді

(9.38)

Онда (9.29)-пайдаланып, (9.28) теңдеуден функциясына қатысты (9.29) сызықты дифференциалдық теңдеуді аламыз.

М.10^. дифференциалдық теңдеуді шешейік.

Шешуі. Мұндағы , ендеше (9.28) Бернулли теңдеуі. Онда берілген теңдеудің екі жағын да шамасына көбейту арқылы теңдігін аламыз. Енді (9.29) алмастыруын енгізсек, Ендеше, берілген теңдеу

(^)

сызықты дифференциалдық теңдеуге айналады. Егер интегралдық көбейткіш болса, онда (^)теңдеуді оған көбейту арқылы,

Енді бастапқы функциясына көшсек, яғни  берілген Бернулли теңдеуінің жалпы шешімін (интегралын) аламыз.

5. Толық дифференциалды теңдеулер. Берілген функциясының толық дифференциалы деп,

(9.30)

өрнегін айтамыз. Енді қай уақытта дифференциалдық өрнек функциясының толық дифференциалы болу шартын анықтайық.

9.3. Теорема. Айталық, және  жазықтығында жатқан бір байланысты аймағында өздерінің бірінші ретті  дербес туындыларымен қоса үзіліссіз функциялар болсын. Онда  дифференциалдық өрнегі кейбір функциясының толық дифференциалы болуы үшін,  нүктесі үшін

(9.31)

теңдігінің орындалуы, қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Айталық, (1) өрнек функциясының толық дифференциалы болсын. Онда

(2)

теңдігі орындалады. Бұдан 

(3)

теңдіктерін аламыз. Енді (3) теңдіктердің біріншісін , ал екіншісін бойынша дифференциалдап, аралас туындылардың 6.7- теоремасын қолдансақ,

қажетті (9.30) теңдікті аламыз.

Жеткіліктілігі. Айталық, (9.30) теңдік орындалатын болсын. Енді (1) дифференциалдық өрнек кейбір функциясының дифференциалы болатындай, функциясының өзін табайық. Онда толық дифференциалдың анықтамасы бойынша (2) және (3) теңдіктерді алып, (3) теңдіктердің біріншісін бойынша интегралдасақ,

(4)

бұл өрнектегі ерікті тұрақты ретінде -тен тәуелді дифференциалданатын функциясын аламыз. Енді (3) теңдіктің екіншісін ескере отырып, алынған (4) теңдіктің екі жағында бойынша дифференциалдасақ,

(5)

Табылған функцияны (4) теңдіктегі орынына қойсақ,

(9.32)

ізделініп отырған функцияны аламыз. Теорема толық дәлелденді.

Студенттің өзіндік тапсырмасы

Жоғарыдағы дәлелденген (9.31) теңдік, дифференциалдық өрнек, функциясының толық дифференциалы болу шарты, ал сәйкес

(9.33)

теңдеу, толық дифференциалды теңдеу деп аталады. Ендеше,

(9.34)

өрнегі, бұл теңдеудің жалпы интегралы деп аталады.

Егерде және функциясы нүктесінде анықталған және аймағы дөңес болса, онда ізделінетін функциясының дифференциалы өрнегі болатындығын

(9.35)

теңдігін интегралдау арқылы да тексеруге болады.

М.11^. дифференциалдық теңдеуді шешейік.

Шешуі. Берілген теңдеудегі және Онда берілген дифференциалдық теңдеу кейбір функциясының толық дифференциалы болады. Ендігі мақсатымыз, осы функцияны табу. Ол үшін жоғарыдағы 9.3-теорема бойынша,

(^)

Бірінші теңдеуден 

Мұндағы  бойынша әзірге белгісіз дифференциалданатын функция. Енді (^) теңдіктердің екіншісін ескере отырып

Ендеше, функциясынан берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын аламыз.

Сонымен,

М.12^. Берілген бастапқы шарты бойынша толық дифференциалдық теңдеу үшін Коши есебін шешейік.

Шешуі. функциялары нүктесінде үзіліссіз. Онда функциясын табу үшін (9.35) формуланы қолданамыз 

Онда (9.34) теңдікті қолданып, берілген толық дифференциалды теңдеудің жалпы интегралын табамыз 

Берілген бастапқы шарт бойынша, болғандықтан,

Демек, Коши есебінің дербес шешімі 

Егер толық дифференциалды теңдеудің негізгі шарты орындалмайтын, яғни болсын. Онда толық дифференциалды теңдеу емес. Бұл кезде интегралдық көбейткіш деп аталатын функциясына берілген теңдеудің екі жағын да көбейту арқылы, оны толық дифференциалды теңдеуге келтіруге болады. Бұл кезде жоғарыдағы (9.31) шарт

(9.36)

түрін қабылдайды. Бұл теңдеуді жалпы түрде шешу қиынға соғатындықтан, кейбір ерекше жағдайларын қарастырамыз.

1^. Айталық,  тек -тен ғана тәуелді функция болсын. Онда болады да, (9.38) теңдеу

(6)

түрін қабылдайды. Егерде соңғы (6) теңдіктің сол жағындағы өрнегі тек -тен тәуелді болса, онда ол айнымалылары ажыратылатын теңдеуге айналады да, оның шешімі

(9.37)

түрін қабылдайды.

2^. Айталық, тек -тен тәуелді функция болсын. Онда (9.37) теңдеу болғандықтан,

(7)

түрін қабылдайды. Егерде соңғы теңдіктегі өрнегі тек -тен тәуелді болса, онда (7) теңдеуде айнымалылары ажыратылған теңдеуге айналады. Ендеше,

(9.38)

Aлынған (9.37) және (9.38) өрнектер есеп шығаруды жеңілдету үшін өрнегін тауып, қатынасын қарастырамыз. Егерде бұл өрнек тек -тен ( -тен) тәуелді болса, онда (9.37) (немесе (9.38)) формуланы пайдаланып, интегралдық көбейткішті табамыз.

М.13^. дифференциалдық теңдеуді интегралдайық.

Мұндағы . Демек, берілген теңдеу толық дифференциалды теңдеуге жатпайды. Сондықтан интегралдық көбейткіш болатын функциясын құрайық. Ол үшін жоғарыдағы 1^- жағдайды қарастырайық. Сонымен,

яғни . Ендеше, (9.46) формула бойынша 

Енді берілген теңдеуді табылған интегралдық көбейткішке көбейту арқылы  толық дифференциалды теңдеу аламыз. Мұндағы .

Онда

.

Ескерту. Жалпы шешімнен шықпаған, шамасы да берілген теңдеудің шешімі болып табылады.

3^. Енді теңдеуін толық дифференциалды теңдеуге айналдыратын интегралдық көбейткіштің қандай шартты қанағаттандыруы керек екендігін көрсетейік.

Ол үшін (9.38) қатынастар жүйесін пайдаланамыз 

(9.39)

Егерде бұл қатынастағы өрнегі тек көбейтіндісінен тәуелді болса, онда берілген теңдеуді толық дифференциалды теңдеуге айналдыратын  интегралдық көбейткішті табуға болатындығын көреміз.