9. Закон сохранения импульса Задача

С судна массой М=750 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60⁰ к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой m=30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

Изобразим судно до выстрела, и после выстрела на рис.

На рисунке введены следующие обозначения:

- скорость судна вместе со снарядом до выстрела;

- скорость судна после выстрела;

- скорость снаряда относительно судна.

Запишем суммарный импульс системы (судно + снаряд) до выстрела:

Р =(m + М)V_о

Запишем суммарный импульс этой системы после выстрела. Скорость судна после выстрела V₁ и его импульс равен МV₁, скорость снаряда относительно судна V_отн, а относительно воды (V_отн - V_о), здесь V_отн - проекция скорости снаряда относительно судна на направление движения. Импульс снаряда относительно воды равен:

Знак минус связан с тем, что направление движения снаряда противоположно направлению движения судна. Тогда по закону сохранения импульса мы можем написать:

=0,02 м/с

1. Система состоит из частицы 1 массы 0,1 г, частицы 2 массы 0,2 г и частицы 3 массы 0,3 г. Частица 1 помещена в точке с координатами (1,2,3), частица 2 – в точке с координатами (2,3,1), частица 3 – в точке с координатами (3,2,1). Найти радиус-вектор центра масс системы и его модуль.

2. В вершинах прямоугольника АВСД со сторонами АВ=20 см и АД =30 см расположены частицы массами 4 г, 5 г, 8 г и 2 г. Найти положение центра масс.

3. Найти радиус-вектор центра масс частиц 0,5 кг, 1,5 кг и 2 кг, положение которых определяется векторами , соответственно.

4. Частицы 5m, 4m и 3m размещены в точках (-5; 0), (4; 0,5), -4;-3), соответственно. Где должна находится масса 7m, чтобы центр масс системы находился в начале координат?

5. Три частицы 2 кг, 5 кг и 10 кг движутся со скоростями . Определить скорость центра масс и величину его перемещения за 10 с.

6. На частицы из предыдущей задачи начинают действовать силы Н, соответственно. Определите ускорение центра масс. Сохраняется ли импульс системы частиц в течение времени действия этих сил?

7. Сосуд массой М разделен перегородкой на две равные части. В одной части находится масса газа, равная 5М, а в другой – 2М. На какое расстояние переместится сосуд, если в перегородке образуется отверстие? Длина сосуда L. Трения нет.

8. Между двумя тележками с массами m₁ и m₂ помещена сжатая пружина. При пережигании удерживающей нити пружина разожмется и, действуя определенное время на каждую из тележек, сообщает им скорости v₁ и v₂. Показать, что в любой момент времени тележки будут двигаться по горизонтальным рельсам так, что их общий центр масс, находившийся на расстояниях l₁ и l₂ между тележками, будет оставаться неподвижным. Трением пренебречь.

9. На какое расстояние сместится неподвижно стоящая на воде лодка, если человек массой 70 кг пройдет с носа лодки на ее корму? Длина лодки 2,5 м, ее масса 100 кг. Сопротивлением воды пренебречь.

10. На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна линии берега и обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и берегом 0,75 м. В начальный момент лодка неподвижна. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа лодки на корму. Причалит ли лодка к берегу, если ее длина 2 м? Масса лодки 140 кг, масса человека 60 кг.

11. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какую траекторию будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса обруча М, радиус R, масса жука m.

12. На дне закрытой пробирки сидит муха. Пробирка свободно падает, оставаясь в вертикальном положении. Как изменится продолжительность падения, если во время падения муха перелетит из нижней части пробирки в верхнюю?

13. К свободному аэростату массой М привязана веревочная лестница длиной L, на конце которой находится человек массой m. Аэростат не движется. Человек начинает подниматься по лестнице вверх. На какой высоте будет находиться человек над землей в тот момент, когда он доберется до аэростата, если в начальный момент он находился от нее на высоте h? В каком направлении и с какой скоростью будет перемещаться аэростат, если человек начнет подниматься по лестнице вверх с постоянной скоростью относительно лестницы?

14. Шарик массой 100 г свободно упал на горизонтальную площадку, имея в момент удара скорость 10 м/с. Найти изменение импульса при абсолютно упругом и абсолютно неупругом ударе. Вычислить среднюю силу, действующую на шарик во время удара, если неупругий удар длится 0,05 с, а упругий – 0,01 с.

15. Мяч массой 100 г, летевший со скоростью 20 м/с, ударился о горизонтальную плоскость. Угол падения равен 60⁰. Найти изменение импульса, если удар абсолютно упругий, а угол отражения равен углу падения.

16. Мяч весом Р= 2 Н ударяется о стенку и отскакивает от нее так, что угол , образованный траекторией мяча до удара с нормалью к стенке, равен углу, образованному с этой же нормалью траекторией после удара (рис.33 ). Скорость мяча V=5 м/с. Продолжительность удара t=0,05 с. Определить величину и направление усредненной за время удара силы F, с которой мяч действует на стенку, для =45⁰.

Рис. 33

17. Ледокол водоизмещением 5000 т, идущий с выключенным двигателем со скоростью 10 м/с, наталкивается на неподвижную льдину и движет ее впереди себя. Скорость ледокола уменьшилась при этом до 2 м/с. Определите массу льдины. Сопротивлением воды пренебречь.

18. В открытый автомобиль, движущийся горизонтально по инерции со скоростью 33 км/ч, бросают сверху мешок массой 100 кг. Как изменится скорость автомобиля? Масса автомобиля 1000 кг.

19. Два неупругих тела, массы которых 2 кг и 6 кг, движутся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с каждое. Определить модуль и направление скорости каждого из этих 1 м/с

20. Два шара претерпевают центральный абсолютно неупругий удар. До удара шар массы m₂ неподвижен, шар массы m₁ движется с некоторой скоростью. Какая часть первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если : а) m₁=m₂; б) m₁=0,1m₂; в) m₁=10m₂.

21. На платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль железнодорожного полотна под углом 45⁰ к горизонту. Определить начальную скорость снаряда, если известно, что после выстрела платформа откатилась на расстояние 3 м. Масса платформы с пушкой 20 т, масса снаряда 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами 0,002.

22. С судна массой 250 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению под углом 60⁰ к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

23. Бильярдный шар, движущийся со скоростью 1,71 м/с, ударяется о неподвижный шар, после чего оба шара разлетаются с одинаковыми скоростями 10 м/с. Под каким углом движутся шары после удара, если удар абсолютно упругий?

24. Бильярдный шар 1, движущийся со скоростью 10 м/с, ударился о покоящийся шар 2 такой же массы. После удара шары разошлись так, как показано на рис.34 . Найти скорости шаров после удара.

1 2 45⁰

45⁰

Рис.34

25. Для определения скорости пули используют баллистический маятник. Определить скорость горизонтально летевшей пули перед попаданием в маятник, если он после попадания пули отклонился на угол 1,5⁰. Длина нити 4 м, масса пули 20 г, масса баллистического маятника 0,5 кг.

26. Из ракетного двигателя за время t равномерно вытекает масса газа m со скоростью истечения с. Какова сила тяги двигателя?

27. Ракета массой 10³ кг содержит кг взрывчатого вещества. Какую скорость приобретет ракета, если считать, что взрыв горючего и выход газов, вылетевших со скоростью 2 км/с, происходит мгновенно?

28. От двухступенчатой ракеты общей массы m₁ + m₂ = 10³ кг в момент достижения скорости 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой m₂ = кг. Скорость второй ступени увеличилась при этом до 185 м/с. Найти, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты. Скорости указаны относительно Земли.

29. В ракетах газы выбрасываются не сразу, а постепенно. Вытекающая часть газов сообщает обратную скорость не только ракете, но и оставшемуся горючему. Это значит, что в реальной ракете горючего должно быть больше, чем предусмотрено задачей 9.23. Циолковский рассчитал, что вне поля тяготения конечная скорость ракеты v, скорость истечения газов из ракеты с, масса горючего m и масса ракеты М связаны равенством: . Используя эту формулу, определить, какое количество горючего надо было бы для достижения скорости, полученной в задаче 9.23? 10. РАБОТА. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ

1. .Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 40 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика, если во время его движения нить образует с вертикалью угол 60⁰?

2. .Постоянная сила F=0,5 Н ускоряет тело массы m=10 кг в течение времени t=2 с. Определить кинетическую энергию тела, если начальная кинетическая энергия его была равна нулю. Построить зависимости кинетической энергии от времени и от пройденного пути.

3. .Какую работу надо совершить, чтобы лежащий на земле однородный стержень длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально?

4. .Какую работу надо произвести, чтобы повернуть на другую грань сплошной железный куб, масса которого m=200 кг?

5. .Сравнить работы, которые совершает человек, растягивая пружину динамометра от 0 до 10 Н, от 10 до 20 Н, от 20 до 30 Н.

6. .Электропоезд в момент выключения тока имел скорость 20 м/с. Какой путь пройдет поезд без включения тормозов до полной остановки, если коэффициент сопротивления равен 0,005?

7. .Мальчик тянет санки по горизонтальному пути, натягивая при этом привязанную к ним веревку под углом 37⁰ к горизонту с силой 20 Н. Какую работу он произведет, протащив санки на расстояние 600 м?

8. .Какую работу необходимо затратить, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки? Длина пробки L, пробка находится на расстоянии l от края горлышка. Сила трения между пробкой и бутылкой F. Весом пробки пренебречь.

9. .Тело свободно падет с некоторой высоты без начальной скорости. Как относятся работы, совершаемые силой тяжести за одинаковые последовательные промежутки времени?

10. .Определить работу, которую надо совершить, чтобы поднять на высоту 5 м груз весом 2 Н, двигая его равномерно по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30⁰. Коэффициент трения 0,5.

11. .Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту 30⁰. Какую работу совершила сила тяги на пути 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с²? Коэффициент трения равен 0,1.

12. .Тело поднимают на вершину горы один раз по пути АДС, а другой раз – по пути АВС (рис. 35 ). Доказать, что при медленном подъеме совершенная работа будет одной и той же, если коэффициент трения на обоих склонах одинаков.

С

В

Д

А

Рис. 35

13. .Пуля массой 1,5 г, Летевшая горизонтально со скоростью 670 м/с, пробивает доску толщиной 3,5 см. Определить кинетическую энергию пули после пробивания доски, если сила сопротивления при движении ее в дереве равна 74 кН.

14. .Тело массы m=4 кг двигалось по горизонтальной прямой со скоростью 2 м/с. После действия некоторой силы оно стало двигаться в противоположном направление с вдвое большей скоростью. Найти величину этой силы и совершенную ей работу, если время действия силы 2 с. Решить задачу при условии, что после действия силы тело стало двигаться под углом 90⁰ к начальной траектории с той же по величине скоростью 2 м/с.

15. .Найти приращение энергии Е, если: а) Е₁=2 Дж, Е₂=5 Дж; б) Е₁=10 Дж,Е₂=8 Дж.

16. .Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы: ( Н) , переместилась из точки (2, 4, 6) ( м ) в точку (3, 6, 9 ) ( м ). Найти кинетическую энергию Т частицы в конечной точке.

17. .Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) ( Н ), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) ( М ) в точку с координатами (3, 2, 1 ) ( м ). Какая при этом совершается работа и как изменилась кинетическая энергия частицы?

18. .Каким способом можно закинуть льдинку дальше: а) бросив в воздух под углом 45⁰ к горизонту или б) пустив ее скользить по льду с такой же скоростью? Коэффициент трения 0,02.

19. .Санки движутся по горизонтальному льду со скоростью 6 м/с, выезжают на асфальт. Длина полозьев санок 2 м, коэффициент трения об асфальт k=1. Какой путь пройдут санки до полной остановки?

20. .Поезд массой m=50 т шел равномерно по горизонтальному пути. От поезда оторвался задний вагон массой m₁=20 т. Проехав после этого 200 м, машинист прекратил доступ пара в машину. На каком расстоянии друг от друга остановятся отделившийся вагон и остальной состав поезда? Предположить, что машина все время работала одинаково ( сила тяги оставалась постоянной) и что сопротивление движению поезда и вагона пропорционально движущейся массе.

21. .Какую работу надо совершить, чтобы из колодца глубиной 10 м поднять вверх ведро с водой массой 8 кг на тросе, каждый метр которого имеет массу 400 г?

22. .К концу сжатия пружины детского пистолета на 3 см приложенная к ней сила была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.

23. .Пружина детского пистолета имеет в недеформированном состоянии длину 15 см. Сила, необходимая для сжатия пружины на 1 см, равна 2 Н. Какова будет максимальная высота подъема шарика массой 1 г, если им зарядить пистолет, сжав пружину до 5 см ? Пистолет расположен вертикально. Сопротивление воздуха не учитывать.

24. .Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением : . Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1, 1, 1) в точку с координатами (2, 2, 2).

25. .Потенциальная энергия частицы определяется выражением: , где a > 0. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3, 3, 3). Найти ее кинетическую энергию Т в момент, когда частица находится в точке с координатами (1, 1, 1).

26. .Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид : U=a/r² –b/r, где a и b – положительные постоянные, r- расстояние от центра поля. Найти : а) значение r, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей U( r ) и F_r ( r ) – проекции силы на радиус-вектор.