4.Относительность механического движения.

Задача

Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 с. Какова длина второго поезда?

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

I-ый способ.

Решим задачу в неподвижной системе отсчета, связанной с землей. По условию задачи известны скорость первого поезда относительно земли V₁ и скорость второго поезда относительно земли V₂. Обратимся к рис.

Пусть для определенности пассажир находится в головном вагоне первого поезда. Можно сообразить, что длина второго поезда будет складываться из двух частей: L₂=S₁ + S₂, где S₁ – путь, который прошел первый поезд за 6 с и S₂ – путь, который прошел поезд за то же время.

Дано: V1=36 км/ч V2=54 км/ч L2=?

V1= 36 км/ч = = 10 м/с V2 =54 км/ч = = 15 м/с

При равномерном прямолинейном движении путь определится по формуле:

S=Vt

S₁=V₁t=10 м/с 6 с= 10 м; S₂=V₂t=15 м/с 6 с= 90 м

Тогда длина второго поезда равна: L₂=60 м + 90 м= 150 м

2-ой способ.

Решим задачу в подвижной системе движущегося поезда. Для этого воспользуемся законом сложения скоростей:

Свяжем подвижную систему отсчета с первым поездом, тогда пассажир в этом поезде видит, что мимо него проходит поезд длиной L₂ со скоростью V_отн за время t. Так как движение прямолинейное и равномерное, то:

L₂=V_отнt

Скорость V_отн движения второго поезда относительно первого найдем из закона сложения скоростей:

Здесь - скорость второго поезда относительно подвижной системы отсчета (первого поезда), - скорость второго поезда относительно неподвижной системы отсчета (земли), - скорость подвижной системы отсчета (первого поезда) относительно неподвижной системы отсчета.

Выбираем положительное направление оси ох вдоль направления движения второго поезда, тогда, проектируя закон сложения скоростей на эту ось, получим:

V_отн= V- (-V₂) = V + V₂

Теперь ищем длину второго поезда:

L₂=(V + V₂)t =(15 м/с + 10 м/с) = 150 м

Примечание

В этом способе решения задачи получилось автоматически, в отличие от первого способа, где мы встретились с логическими трудностями при нахождении длины второго поезда.

Задача

Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно направлению движения вагона. Смещение отверстий в стенках вагона 60 мм. Какова средняя скорость пули при ее движении между стенками вагона?

Решаем задачу в подвижной системе вагона. Пусть V – скорость пули относительно неподвижной системы отсчета (земли)., V₁- скорость пули относительно подвижной системы (вагона), V₂-скорость подвижной системы относительно неподвижной. Сделаем чертеж.

В

С А

При этом мы учли, что скорость направлена перпендикулярна скорости по условию и что согласно закона сложения скоростей :

На рис. 22 точка А соответствует входному отверстию пули, а точка В соответствует выходному отверстию, т.к. по отношению к вагону пуля движется по траектории АВ. АС – есть смещение отверстий в стенках вагона.

Дано: V2=15 м/ч ВС=2,4 м АС = 60 мм V=?

Из треугольника АМN следует : Из треугольника АВС следует:

V= 15 м/с =600 м/с

ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ГАЛИЛЕЯ

4.1.Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течении 14 с. Какова длина второго поезда?

4.2.Расстояние 240 м необходимо проехать на лодке туда и обратно один раз по реке, скорость течения которой 1 м/с, а другой раз по озеру. Скорость лодки относительно воды в обоих случаях 5 м/с. Решив задачу в общем виде, доказать, что поездка туда и обратно по реке занимает больше времени, чем по озеру. На сколько времени движение лодки по реке в данном случае больше времени ее движения по озеру ?

4.3.Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору?

4.4.Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 м/с? Найти угол между векторами скорости катера относительно берега и скорости реки.

4.5.Моторная лодка, имеющая в системе отсчета, связанной с водой, скорость 6 м/с, должна переправиться через реку по кратчайшему пути. Какой курс относительно берега необходимо держать при переправе, если скорость течения реки 2 м/с ? Какова скорость лодки относительно земли ?

4.6.Корабль движется по экватору на восток со скоростью 30 км/ч. С юго-востока под углом 60⁰ к экватору дует ветер со скоростью 15 км/ч. Найти скорость ветра относительно корабля и угол между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.

4.7.По прямой дороге АВ с постоянной скоростью 20 м/с движется автомобиль. Из точки С, которая находится от АВ на расстоянии 2000 м, в момент, когда автомобиль и точка С оказываются на одном перпендикуляре к АВ, производится выстрел из пушки (рис.7). Предполагая, что снаряд летит прямолинейно с постоянной скоростью 200 м/с, определить:

а) угол, на который нужно повернуть ствол пушки, чтобы поразить автомобиль;

б) время полета снаряда;

в) путь, который пройдет автомобиль за это время.

Рис.7

4.8.Из начала координат одновременно начинают движение две точки. Первая движется по оси х со скоростью 3 м/с, а вторая - по оси у со скоростью 4 м/с. С какой скоростью они удаляются друг от друга ?

4.9.Точки 1 и 2 движутся по осям х и у (рис.8). В момент времени t=0 точка 1 находилась на расстоянии 10 см, а точка 2 - на расстоянии 5 см от начала координат. Первая точка движется со скоростью 2 см/с, а вторая - со скоростью 4 см/с. Встретятся ли они ? Каково наименьшее расстояние между точками ?

y

2

1

0 х

Рис. 8

4.10.Лодка движется относительно воды со скоростью, в 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше ?

4.11. Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В 3 часа, обратно - 6 часов. Сколько времени потребовалось бы этому катеру для того, чтобы проплыть расстояние АВ по течению реки при выключенном моторе?

4.12.Два катера с различными скоростями плыли в одном направлении по течению реки. Когда они поравнялись, с одного из катеров бросили спасательный круг. Через некоторое время после этого оба катера одновременно повернули обратно и с прежними скоростями относительно воды направились к месту, где был брошен круг. Какой из катеров встретит круг раньше ? Как изменится ответ, если катера до встречи плыли против течения? Навстречу друг другу?

4.13.Два корабля движутся равномерно со скоростями v₁ и v₂ по прямым, угол между которыми равен . Определить их относительную скорость. Показать на рисунке наименьшее расстояние между кораблями.

4.14.На движущейся горизонтально и равномерно тележке установлена труба Под каким углом к горизонту нужно наклонить трубу, чтобы капли дождя, падая вертикально, попадали на дно трубы, не задев ее стенок? Скорость капель 6 м/с, скорость тележки 20 см/с.

4.15.Ведро выставлено на дождь. Изменится ли скорость наполнения ведра водой, если подует ветер?

4.16.Две частицы 1 и 2 движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t=0 частицы находились на расстояниях b₁ и b₂ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим ? Чему оно равно ?

4.17.Два тела бросили одновременно из одной точки: одно вертикально вверх со скоростью v₁, другое -вниз со скоростью v₂. Найти расстояние между телами через t секунд.