Розділ 4 неповний контакт жорсткого диска або штампа з контуром криволінійНого отвоРу нескінченної пластинки

У профільних з’єднаннях валів і дисків, які передають силове навантаження або обертальний момент, відбувається відносне їх зміщення і поворот, тому щільний контакт відбувається в обмежених зонах. Площа цих зон тим більша, чим менший зазор і більше силове та моментне навантаження.

У цьому розділі розглянуто контактні задачі для нескінченної пластинки з криволінійним отвором, в який з натягом вставлено (запресовано) гладкий абсолютно жорсткий диск або штамп з кутовими точками, які передають до контуру пластинки зосереджену силу чи обертальний момент. Побудовано математичні моделі задач про неповний контакт циліндричних тіл з гладкими чи ребристими поверхнями.

4.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором

Нехай в криволінійний отвір вигляду (2.1) нескінченної ізотропної пластинки вставлено (запресовано) з натягом ( ) жорсткий диск такої ж форми. В його центрі прикладено пару сил з моментом _, внаслідок чого на лінії поділу матеріалів пластинки і диска виникають зони контакту і відставання (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Розрахункова схема задачі

Як і в попередньому розділі, розв’язання задачі полягає у визначенні кута повороту диска, величини і положення зони контакту та напруженого стану на контурі отвору.

4.1.1. Вивід інтегральних рівнянь. Систему прямокутних координат обираємо так, як показано на рис. 4.1. При цьому будемо вважати, що

;

,

де , – полярні кути межових точок ділянки контакту . Усі інші ділянки одержуються поворотом заданої на кут .

Вирази для компонент вектора зміщення (2.13), (2.15) при заданому навантаженні запишемо у вигляді

. (4.1)

Тут , – образи кутів , при відображенні (2.1).

В співвідношенні (4.1) враховано формулу

, ,

яка одержана в результаті інтегрування за частинами.

Для визначення сталих , використаємо співвідношення (4.1) і умову періодичності зміщень (3.3). З урахуванням властивостей функцій , ( ) (рис. 4.2)

Рис. 4.2. Графіки зміни на проміжку

,

; , (4.2)

отримаємо

. (4.3)

Підставивши (4.3) в (4.1), знаходимо

. (4.4)

Граничні умови задачі за наявності в зоні контакту сил тертя, заданих законом Кулона, мають вигляд (2.71).

Функції і подамо інтегральними співвідношеннями

;

. (4.5)

Якщо підставити (4.4), (4.5) в граничні умови (2.71), одержимо систему двох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для визначення функцій ,

;

, . (4.6)

Величину кута повороту диска знаходимо з умови його граничної рівноваги (3.5), яку можна подати у вигляді

. (4.7)

Якщо функції , будуть відомі, то величини , визначаються за формулою

. (4.8)

4.1.2. Наближений розв’язок задачі. Знаходження точного розв’язку системи (4.6)-(4.7) пов’язане зі значними математичними труднощами, тому будемо шукати його наближено модифікованим методом Мультоппа-Каландія. Для цього зведемо систему (4.6)-(4.7) до стандартного вигляду з проміжком інтегрування . Це можна зробити заміною змінних

; ;

; .

Тоді

; ;

;

. (4.9)

З урахуванням залежностей (4.9) інтеграли, які входять до першого рівняння системи (4.6)-(4.7), можна записати так

;

;

.

Введенням заміни

, (4.10)

цю систему перетворимо до вигляду

;

;

; ;

. (4.11)

З урахуванням (4.10) формулу (4.8) запишемо так:

. (4.12)

Якщо підставити в (4.11) , , , то одержимо для відповідних інтегралів такі співвідношення

; ;

, . (4.13)

Оскільки при наближенні до межі зони контакту контактні зусилля будуть зменшуватися до нуля (зона контакту при відсутності у диска кутових точок плавно переходить в зону відставання), тому на підставі (2.22), (4.12) функції , , які на кінцях , дорівнюють нулю, подамо у вигляді

; ; , (4.14)

де – обмежені і регулярні на функції. Для них побудуємо інтерполяційні поліноми Лагранжа, вибравши за вузли інтерполяції корені полінома Чебишева першого роду порядку

(4.15)

або

. (4.16)

Тут - число вузлів інтерполяції; .

Для обчислення регулярних інтегралів в системі (4.11) використаємо квадратурну формулу Гаусса

(4.17)

і співвідношення

; . (4.18)

У результаті проведених розрахунків одержимо такі квадратурні формули:

;

, (4.19)

де

;

- регулярна функція змінних , , .

Сингулярні інтеграли та інтеграли із змінною верхньою межею обчислюються прямим інтегруванням. Використовуючи формулу

(4.20)

одержимо після певних перетворень

;

, (4.21)

де

, .

Підставляючи формули (4.19), (4.21) у систему (4.11) при конкретному і надаючи послідовно значень , а – відповідно , одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих , і кута повороту . Якщо ці сталі стануть відомі, то величини , у вузлах колокації ( ) на підставі (4.12), (4.18) визначаються за формулою

. (4.22)

Компоненти напруженого стану на контурі отвору пластинки можна визначити із співвідношень (2.22) – (2.24).

Зауважимо, що межі зони контакту, тобто кути , , які фігурують в системі (4.6), (4.7), невідомі. Їх можна визначити розв’язуючи систему (4.11), взявши в якості початкового наближення довільні значення , з проміжку і кожного разу уточнюючи їх. Для цього на кожному кроці ітераційного процесу потрібно перевіряти значення в кінцевих точках колокації (на кінцях зони контакту) і, якщо ці значення додатні, то зону контакту звужують, в іншому разі – розширюють. Ітераційний процес продовжують доти, поки не буде досягнуто необхідної точності.