Розділ 6 Математичне моделювання контактної взаємодії пружних циліндричних тіл близьких радіусів

Задачі про внутрішній стиск пластинки з гладким криволінійним отвором та абсолютно жорсткого диска чи штампа у розділах 4, 5 розв’язані наближено методом скінченних тригонометричних рядів або методом механічних квадратур і колокації. Для оцінки збіжності та ефективності цих методів побудовано точні розв’язки окремих задач про контактну взаємодію пружного круглого диска і контуру кругового отвору нескінченної пластинки при їх спряженні з натягом або зазором.

6.1. Напружена посадка пружного диска в круговий отвір нескінченної ізотропної пластинки

6.1.1. Постановка задачі. Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з круговим отвором одиничного радіуса , яка перебуває в умовах однорідного напруженого стану на нескінченності, створеного рівномірно розподіленими зусиллями і .

В отвір пластинки з натягом запресовано круглий пружний диск. У центрі диска прикладено зосереджену силу і зосереджену пару сил з моментом . Вважаємо, що в зоні контакту наявні сили тертя, задані законом Кулона. Розрахункова схема задачі (система відліку і схема навантаження пресового з’єднання) наведена на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Розрахункова схема задачі

Розв’язання задачі полягає у визначенні зусиль в зоні контакту пластинки і диска, а також величини мінімального натягу , при якому розмикання повного контакту відбувається в одній точці.

6.1.2. Математична модель задачі. Граничні умови задачі (2.72), (2.73), (2.76) при можна записати у вигляді

;

; ; , . (6.1)

Формули для визначення компонент тензора деформації пластинки і диска на контурі при заданому навантаженні одержуємо із (2.23), (2.47), (2.48)

;

, . (6.2)

; , . (6.3)

Підставляючи (6.2), (6.3) в граничні умови (6.1), одержимо сингулярне інтегродиференціальне рівняння з ядром Гільберта для визначення контактного тиску

, , (6.4)

де

.

Крім рівняння (6.4), повинні виконуватися силова та моментна умови рівноваги диска

; . (6.5)

Співвідношення (6.4), (6.5) визначають математичну модель задачі, що розглядається. Наближений розв’язок її можна визначити за методикою, запропонованою в розділі 3.

6.1.3. Побудова точного розв’язку задачі. З урахуванням вигляду правої частини (6.4) та формули (3.10) розв’язок задачі (6.4), (6.5) вибираємо у вигляді

, . (6.6)

Підставляючи (6.6) у систему (6.4), (6.5), одержимо після проведення відповідних операцій

;

; , . (6.7)

Порівнюючи в лівих і правих частинах системи (6.7) коефіцієнти при однакових гармоніках, одержимо після певних перетворень систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно , , , ,

; ;

; ;

, (6.8)

з якої визначаємо

; ; ;

; . (6.9)

Тут введено позначення

.

Зауважимо, що силова умова рівноваги диска виконується тотожно, а моментна умова визначає граничне значення моменту , починаючи з якого можливий «зрив» пресового з’єднання.

Підставляючи (6.9) в (6.6), одержимо розрахункові формули для визначення контактних зусиль ,

;

, . (6.10)

Кільцеві зусилля на контурі пластинки (диска) можна визначити за формулами (2.24), (2.49), які для цієї задачі набувають вигляду

;

, . (6.11)

Розглянемо часткові випадки задачі.

1. При система (6.4), (6.5) визначає розв’язок задачі про напружену посадку в круговий отвір пластинки абсолютно жорсткого диска. Контактні зусилля на підставі (6.10) визначаються за формулами:

; , , (6.12)

де

.

2. При відсутності в зоні контакту сил тертя ( ) моментне навантаження передавати не можна через рухомість пресового з’єднання, тому для існування розв’язку задачі слід вважати . Підставляючи в співвідношення (6.10) , знаходимо

;

, . (6.13)

6.1.4. Визначення мінімального натягу. Якщо точка (точки) розмикання контакту між пластинкою і диском відома (відомі), то задача визначення зводиться до розв’язання рівняння , в якому - полярний кут точки розмикання.

Положення цієї точки відомо наперед тільки для випадку силового навантаження в центрі диска ( ) при відсутності сил тертя ( ). У цьому випадку і рівняння для визначення на підставі (6.10) має вигляд:

. (6.14)

З цього рівняння знаходимо

. (6.15)

У загальному випадку навантаження точний розв’язок такої задачі знайти не вдається. Для наближеного визначення положення точки розмикання і мінімального натягу вибираємо два довільних значення натягу , . Для першого значення контактні зусилля, визначені за формулою (6.10), від’ємні в кожній точці контуру . Для іншого значення контактні зусилля на контурі приймають як додатні так і від’ємні значення. Це означає, що . Розв’язок цієї задачі реалізуємо методом дихотомії, який був описаний у підрозділі 3.1. На практиці цей процес необхідно супроводжувати побудовою епюр на контурі .