6.3. Двосторонній контакт пружного диска з контуром кругового отвору нескінченної пластинки
6.3.1. Постановка задачі. Нехай нескінченна пластинка з круговим отвором одиничного радіуса ( ) перебуває в умовах однорідного напруженого стану створеного на нескінченності рівномірно розподіленими зусиллями інтенсивності і .
В отвір пластинки без зазору і натягу ( ) вставлено круглий пружний диск, виготовлений із іншого матеріалу. Система відліку і схема навантаження наведені на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Розрахункова схема задачі
За дії вказаних
навантажень контакт між диском і контуром
отвору виникає на ділянках
і
.
На інших ділянках контуру отвору і диска
контактні зусилля відсутні.
Встановимо умови, які накладаються на і , щоб мав місце контакт пластинки і диска на двох центральносиметричних ділянках. Такий контакт виникає на ділянках, де нормальні зміщення контуру пластинки , викликані зовнішнім навантаженням, від’ємні.
Розглянемо формули
(2.14) - (2.16) при
,
,
з яких одержимо
.
(6.48)
Оскільки зона
контакту починає формуватися в точках
і
,
то з нерівності (6.48) знаходимо
.
(6.49)
У подальшому будемо вважати, що умова (6.49) виконується.
6.3.2. Математична модель задачі. Граничні умови задачі (6.1) при відсутності сил тертя і зазору можна записати так
;
;
,
.
(6.50)
Компоненти тензора деформації контурних точок пластинки і диска (6.2), (6.3) при заданому навантаженні набувають вигляду:
;
,
; (6.51)
;
,
.
(6.52)
З урахуванням умов подвійної симетрії задачі відносно координатних осей
,
(6.53)
і формули
(6.54)
співвідношення (6.51) – (6.52) можна записати так:
;
,
(6.55)
;
,
.
Умови рівноваги диска виконуються тотожно.
Підстановка (6.55) в граничні умови (6.50) призводить до інтегродиференціального рівняння для визначення контактних зусиль
,
.
(6.56)
6.3.3.
Побудова точного розв’язку задачі у
випадку однакових матеріалів пластинки
і диска.
Оскільки точний розв’язок рівняння
(6.56) знайти не вдається, розглянемо
частковий випадок задачі, коли матеріали
пластинки і диска мають однакові пружні
характеристики (
;
;
).
Тоді це рівняння можна подати у вигляді:
,
.
(6.57)
Заміною змінних
;
,
(6.58)
де
;
;
;
;
,
(6.59)
рівняння (6.57) можна перетворити так
, . (6.60)
Тут введено позначення:
,
(6.61)
де
.
Рівняння (6.60) має
такий же вигляд, як і рівняння (6.27). Його
загальний розв’язок одержуємо з (6.32)
заміною
на
:
,
, . (6.62)
Інтегруючи (6.62) по з урахуванням (6.59), знаходимо
,
.
(6.63)
Сталу інтегрування визначаємо з умови . Як і в попередній задачі ця стала дорівнює нулю.
У результаті інтегрування правої частини (6.63) одержимо
,
, . (6.64)
Сталу визначаємо з умови
.
(6.65)
Після обчислення в (6.65) відповідних інтегралів знаходимо
.
(6.66)
Підставляючи (6.66) в (6.64), одержимо
,
,
.
(6.67)
Встановимо рівняння
для визначення розмірів ділянок контакту.
З цією метою формули (2.14), (2.43) для
визначення зміщень
,
пластинки і диска подамо у вигляді
;
,
.
(6.68)
Сталі , визначаємо з умов
;
.
(6.69)
Підставляючи в (6.68) і , на підставі (6.69) знаходимо
.
(6.70)
Для встановлення розмірів ділянок контакту між пластинкою і диском використаємо умову
,
(6.71)
з якої визначаємо
.
(6.72)
Підставляючи в (6.72) вираз (6.67) та обчислюючи відповідні інтеграли за наближеними формулами, одержимо трансцендентне рівняння для визначення величини зони контакту