2.2. Круглий пружний диск

Розглянемо тонкий круглий ізотропний пружний диск товщиною , радіусом . Його серединну площину віднесемо до прямокутної системи координат з початком у центрі диска. Полярна система координат обирається так, щоб її полюс співпадав з центром , а полярна вісь – з віссю .

Нехай на контурі в серединній площині диска діють розподілені нормальні і дотичні зусилля, а у центрі прикладено зосереджену силу і пару сил з моментом (рис. 2.2). За дії такого навантаження диск перебуває у рівновазі.

Рис. 2.2. Схема навантаження диска

Як і в попередньому підрозділі, необхідно встановити інтегральні співвідношення між компонентами тензора деформацій і компонентами вектора зміщення в точках контуру та зовнішнім навантаженням.

Для реалізації цього завдання запишемо граничні умови першої і другої основних задач плоскої задачі теорії пружності:

; (2.25)

, (2.26)

де ; .

Величини, відзначені індексом 1, мають для диска той самий зміст, що і величини без індексу для ізотропної пластинки.

При заданому навантажені на диск комплексні потенціали , мають таку структуру:

;

, (2.27)

де , - голоморфні в області функції, які можуть бути подані такими рядами:

; , . (2.28)

Коли підставимо (2.28) з урахуванням (2.27) в умову (2.25), одержимо рівняння для визначення функції

. (2.29)

Застосувавши до (2.29) оператор Коші , після інтегрування по контуру знаходимо з урахуванням (2.27)

. (2.30)

При виведенні (2.30) використано формулу

, ,

де - точка на контурі , яка фіксує однозначну вітку логарифма в області .

Для визначення сталої порівняємо коефіцієнти при в лівій і правій частинах (2.30):

. (2.31)

Тут враховано розвинення в ряд за степенями функцій

;

. (2.32)

Інтеграл у правій частині (2.31) обчислюємо за частинами

. (2.33)

Оскільки

; ;

, (2.34)

то рівність (2.33) можна записати так:

. (2.35)

Коли підставимо (2.35) в (2.31), після розділення дійсної та уявної частин знаходимо

; . (2.36)

Останнє співвідношення (2.36) забезпечує виконання моментної умови рівноваги диска.

Уявна частина сталої залишається невизначеною. Оскільки вона не впливає на напружений стан диска, тому без обмеження загальності можна вважати, що (стала - дійсна). При цьому диск не буде обертатися як жорстке ціле.

Для визначення компонент вектора зміщення контурних точок диска використаємо граничні умови (2.25), (2.26). У результаті їх додавання знаходимо

. (2.37)

Граничне значення встановлюємо на підставі формули Сохоцького-Племеля

(2.38)

і співвідношення

. (2.39)

Коли перейти в (2.30) до границі при з урахуванням (2.38), (2.39), одержимо

(2.40)

або

. (2.41)

Якщо підставити (2.40) або (2.41) в умову (2.37), одержимо після розділення дійсних і уявних частин

;

(2.42)

або

;

. (2.43)

У співвідношеннях (2.42), (2.43) введено позначення

;

. (2.44)

Сталі , визначають жорстке лінійне зміщення диска.

Для визначення деформацій контуру диска використаємо формулу

, (2.45)

яку з урахуванням (2.37) можна перетворити до вигляду

. (2.46)

Коли підставити в (2.46) вираз (2.41), одержимо після диференціювання по і певних перетворень

;

, (2.47)

де

;

. (2.48)

Кільцеві зусилля на контурі диска визначаються на підставі закону Гука за формулою

. (2.49)

Крім співвідношень (2.42) - (2.44), (2.47), (2.48), повинні виконуватися силові умови рівноваги диска

(2.50)

або

(2.51)

і моментна умова рівноваги (2.36).