1.2. Математична формалізація контактних задач
Розглянемо задачу
про тиск без тертя абсолютно твердого
тіла (штампа) на пружну основу. Їх
контактна взаємодія забезпечується
вертикальною силою
(рис. 1.2 а).
Рис. 1.2
Позначимо через
область поперечного перерізу штампа
І-І (рис. 1.2 а).
Будемо вважати, що під дією сили
штамп, рухаючись поступально, повністю
втискується в основу (рис. 1.2 б), тобто
кутові точки
,
та інші вступають в контакт з основою,
а це означає, що область контакту
співпадає з
.
Нехай поверхня
визначає профіль штампа (просвіт між
штампом і основою), а
– найбільша осадка його поверхневих
точок. Тоді осадку
точок основи в області контакту можна
визначити за формулою
.
(1.1)
Позначимо через
нормальні контактні напруження під
штампом. Ефект дії штампа на основу
еквівалентний прикладанню до
вертикального навантаження
(рис. 1.3).
Якщо функцію тимчасово вважати відомою, то через неї осадка точок основи визначається за формулою
,
(1.2)
де
– вертикальне зміщення точки
від одиничної вертикальної сили, яка
прикладена в точці
області
.
Рис. 1.3
Порівнюючи праві частини (1.1), (1.2), приходимо до інтегрального рівняння для визначення
.
(1.3)
Крім рівняння (1.3), повинна виконуватися умова рівноваги штампа
,
(1.4)
яка служить для визначення величини .
Співвідношення (1.3), (1.4) складають математичну формалізацію контактної задачі, що розглядається.
Ця задача суттєво
ускладнюється, якщо штамп не повністю
вступає в контакт з основою (рис. 1.2 в).
У цьому випадку область контакту
наперед невідома. Однак рівняння (1.3),
(1.4) залишаються незмінними, якщо в них
замінити
на
.
При цьому положення межі зони контакту
визначається із умови відсутності в
межових точках контактного тиску, тобто
,
і т.п.
Для одержання
правильного розв’язку виконують такі
дії: розв’язують систему (1.3), (1.4), вибравши
замість
деяку іншу область
.
Якщо при цьому виявиться, що
в деяких частинах області
,
то необхідно повторити процедуру
розв’язання для
і так до тих пір, поки не виявиться, що
для деякої області
у всіх її внутрішніх точках
,
а на межі
.
Це і буде істинна область контакту.
Така загальна схема розв’язку, що справедлива для всіх контактних задач з наперед невідомою зоною контакту, в окремих випадках може бути суттєво змінена і спрощена, що буде проілюстровано в наступних розділах.
Труднощі розв’язування сформульованих вище контактних задач насамперед залежать від конфігурації області контакту, якщо вона наперед невідома, або від конфігурації і характеру навантаження абсолютно твердого тіла.
Розділ 2 основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл
У розділі систематизовано основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл у вигляді нескінченних ізотропних пластин з гладкими криволінійними отворами та пружних круглих дисків, які перебувають в умовах узагальненого плоского напруженого стану. Оскільки при цьому напружено-деформований стан пластинки або диска однозначно визначається відповідним станом їх серединної площини, тому зовнішні навантаження, які рівномірно розподілені по висоті пластинки (диска), замінені еквівалентними силовими факторами, що діють в серединній площині.
Сформульовано уточнений варіант граничних умов задачі про контактну взаємодію нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска при їх сполученні з нульовим зазором або натягом.