Міністерство освіти і науки України

Рівненський державний гуманітарний університет

А.О. Сяський

Математичне моделювання

плоских контактних задач

Навчальний посібник

Рівне - 2014

ББК 22.18я73

С 99

УДК 519.673(675.8)

Рекомендовано до друку Вченою радою Рівненського державного гуманітарного університету (протокол № 10 від 30 травня 2014 р.)

Рецензенти:

А.П. Власюк, доктор технічних наук, професор, МЕГУ;

М.М. Кундрат, доктор технічних наук, професор, НУВГП;

А.Я. Бомба, доктор технічних наук, професор, РДГУ.

Сяський А.О.

Математичне моделювання плоских контактних задач. Навчальний посібник. – Рівне: РДГУ, 2014. – 112с.

У навчальному посібнику розглянуто основні співвідношення плоскої задачі теорії пружності для пружних циліндричних тіл, обмежених гладкими поверхнями.

Сформульовано граничні умови плоских контактних задач про взаємодію нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого (пружного) диска. Математичні моделі таких задач побудовано у вигляді систем інтегральних рівнянь з ядрами Гільберта або логарифмічними ядрами. Для наближеного розв’язання цих систем використано метод рядів і колокації.

Посібник розраховано на студентів спеціальності «прикладна математика», аспірантів та молодих науковців.

ББК 22.18я73

С 99

УДК 519.673(675.8)

©Сяський А.О., 2014 р.

© Рівненський державний гуманітарний

університет, 2014 р.

ЗМІСТ

Передмова 5

Розділ 1 6

Постановка контактних задач і 6

їх математична формалізація 6

1.1. Постановка контактних задач 6

1.2. Математична формалізація контактних задач 7

розділ 2 11

ОСНОВНІ рівняння плоскої задачі ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ масивних циліндричних тіл 11

2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором 11

2.2. Круглий пружний диск 20

2.3. Граничні умови контактних задач для нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска 29

РОЗДІЛ 3 38

ВЗАЄМОДІЯ ЖОРСТКОГО ДИСКА З контуром 38

КРИВОЛІНІЙНого ОТВОРу НЕСКІНЧЕННОЇ ПЛАСТИНКИ 38

ПРИ ЇХ ПОВНОМУ КОНТАКТІ 38

3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором 38

3.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до криволінійного отвору нескінченної пластинки 48

РОЗДІЛ 4 53

НЕПОВНИЙ КОНТАКТ ЖОРСТКОГО ДИСКА або штампа З контуром КРИВОЛІНІЙНого ОТВОРу НЕСКІНЧЕННОЇ ПЛАСТИНКИ 53

4.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором 53

4.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором 64

4.3. Тиск жорсткого штампа з кутовими точками на контур криволінійного отвору нескінченної пластинки 71

Розділ 5 82

Двосторонній контакт круглого пружного диска і двох симетричних жорстких штампів 82

5.1. Стискування пружного круглого диска двома жорсткими штампами з гладким контуром 82

5.2. Стискування пружного круглого диска двома жорсткими штампами, що мають кутові точки 89

Розділ 6 97

Математичне моделювання контактної взаємодії пружних циліндричних тіл близьких радіусів 97

6.1. Напружена посадка пружного диска в круговий отвір нескінченної ізотропної пластинки 97

6.2. Тиск пружного круглого диска на контур отвору нескінченної пластинки при їх спряженні із зазором 104

6.3. Двосторонній контакт пружного диска з контуром кругового отвору нескінченної пластинки 115

Список використаних джерел 123

Передмова

Навчальний посібник укладено на основі лекцій, які автор упродовж 10 років читав студентам випускного курсу спеціальності «Прикладна математика» на факультеті математики та інформатики Рівненського державного гуманітарного університету. Його матеріал відповідає чинній навчальній програмі курсу «Математичне моделювання плоских контактних задач».

Посібник має на меті практичне застосування математичних методів механіки деформівного твердого тіла до розв’язання мішаних контактних задач для циліндричних тіл, обмежених гладкими або ребристими поверхнями.

Використовуючи подання компонент вектора зміщення і тензора деформації контурних точок нескінченної пластинки з отвором (круглого пружного диска) інтегральними співвідношеннями з логарифмічними ядрами або ядрами Гільберта будуються математичні моделі контактних задач у вигляді систем сингулярних інтегральних рівнянь для визначення контактних зусиль.

Дискретні моделі таких задач будуються методами механічних квадратур та колокації, які мають просту структуру і легко піддаються числовій реалізації. Для оцінки збіжності і точності запропонованих методів знайдено точні розв’язки окремих задач.

Зміст посібника складають результати наукових досліджень автора та його учнів: Батишкіної Ю.В., Комбель (Бабич) С.М., Музичук К.П., Сяського В.А., Трохимчук О.Я., Шинкарчука Н.В.

У посібнику прийнято подвійну нумерацію формул (рисунків). Наприклад, вираз в дужках (3.2) визначає другу формулу (рисунок) з третього розділу.

Автор висловлює щиру вдячність Музичук К.П. за допомогу в підготовці рукопису навчального посібника до друку.

Розділ 1

Постановка контактних задач і

їх математична формалізація

1.1. Постановка контактних задач

Під контактними задачами прийнято розуміти такі задачі механіки деформівного твердого тіла, коли необхідно знайти напруження, що виникають між двома тілами, які вступили в контакт внаслідок дії певних сил (рис. 1.1 а). При цьому допускається, що хоч одне з тіл деформівне.

Рис. 1.1

Спільну частину поверхонь цих тіл (рис. 1.1 б), яка утворилася в процесі деформації, називають областю або зоною контакту, а напруження в області контакту (рис. 1.1 в) називають контактними напруженнями. Якщо контакт тіл гладкий, тобто не враховуються сили тертя, то дотичні контактні напруження відсутні.

Розв’язання контактної задачі передбачає визначення величини і положення зони контакту та закону розподілу контактних напружень, тобто функції .

Будемо вважати більше (за розмірами) із контактуючих тіл основою. Тоді контактну задачу можна розглядати, як тиск того чи іншого тіла на основу.

У більшості контактних задач, які мають значний практичний інтерес, область контакту мала в порівнянні з характерними розмірами основи. Це дозволяє з достатньою інженерною точністю моделювати основу канонічною областю (півпростір, циліндр, простір з циліндричною порожниною, півплощина, площина з гладким криволінійним вирізом тощо).

Математична формалізація контактної задачі суттєво залежить від механічних властивостей основи і конфігурації контактуючих тіл, тому в наступних розділах об’єктами контактної взаємодії будуть пружні та абсолютно жорсткі циліндричні тіла з гладкими чи ребристими поверхнями.

Циліндричне пружне тіло – частина пружного простору, яка обмежена двома циліндричними поверхнями з паралельними твірними та двома паралельними площинами, що перпендикулярні до твірних і віддалені одна від одної на відстань . Характерні поперечні розміри зовнішньої і внутрішньої поверхонь тіла позначимо відповідно через і .

Якщо зовнішня обмежуюча поверхня віднесена в нескінченність або , то таке циліндричне тіло будемо називати масивним.

При масивне тіло має вигляд довгого циліндра, на якому можна реалізувати плоску деформацію.

При масивне тіло має вигляд тонкої нескінченної пластинки з гладким криволінійним отвором, на якій можна реалізовувати узагальнений плоский напружений стан.

Абсолютно жорсткі тіла будемо вважати масивними циліндрами або штампами.