Первый закон Кирхгофа в операторной форме
.
Сумма операторных токов в узле равна нулю. С оперативными сопротивлениями (проводимостями) проводятся те же операции, что и с обычными (рис. 4.8, 4.9).
Рис. 4.8
;
Рис. 4.9
;
.
Переход от изображения к оригинальному с помощью обратного преобразования Лапласа. Математической основой обратного преобразования является интеграл:
;
- интеграл Римана-Бронвига.
Интеграл берется на основе теории функции комплексного переменного.
Пути обратного преобразования
Непосредственное преобразование интеграла(теорема о вычетах, контурное интегрирование)
Использование таблиц соответствия оригинала и изображений
Использование теоремы или формулы разложения.
Используем только третий путь.
Формула разложения
При расчете переходных процессов в цепях исходных с сосредоточенными параметрами изображения искомых величин представляются рациональными дробями, т.е. отношением двух полиномов комплексного переменного p.
.
(1)
При этом:
1. Степень полинома знаменателя обычно больше степени полинома числителя n>m (чаще всего на 1)
2.Числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней, т.е. дробь не сократимая.
3.Корни знаменателя простые (действительные или комплексные).
Вывод строится на разложении (1) на элементарные или простые дроби.
.
(2)
А1,А2,…,Аn- неизвестные коэффициенты
р1, р2,…,рn- корни знаменателя, т.е. корни уравнения Н(р)=0.
Умножим
левую и правую части (2) на (р-р1)
и рассмотрим
…
Правая часть дает А1.
Предел
левой части есть неопределенность вида
Применим правило Лопиталя (произведение числителя разделим на производную знаменателя) и найдем предел дроби.
;
Имеем
.
Аналогично
.
Тогда исходная дробь равна
+
+…+ +
;
;
;
;
.
Частные случаи:
1. Один из корней полинома H(p) равен нулю. Пусть р1 = 0. Этот случай возможен, если в данной цепи имеются источники постоянных ЭДС (тока)
Тогда
и
+
слагаемое
представляет собой принужденную
составляющую напряжения (тока).
2. Помимо H(p) имеет пару чисто мнимых сопряженных корней р1 = jω; р2 = -jω .
Этот случай возможен, если в цепи имеется источники синусоидальных ЭДС (тока).
Тогда
.
Первые два слагаемых также представляют собой принужденную составляющую напряжения (тока).
Порядок расчета переходных процессов операторным методом
Составляется опер. Схема замещения для момента после коммутации уравнения по законам Кирхгофа либо другим.
Записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий.
Уравнения для изображений решаются алгебраически относительно изображения искомой функции.
Осуществляется обратный переход от изображения к оригиналу.
Рассмотрим четвертый этап
Рис. 4.10
В рассмотренной выше схеме операторный ток равен
I(p)
=
.
Преобразуем эту формулу
.
Используем формулу разложения
;
;
;
.
Определим корни знаменателя
;
;
.
Находим производную знаменателя
.
Делаем подстановку в формулу разложения
+
;
+
;
;
;
=
;
.
Корни знаменателя те же (р1 и р2), р3 = 0
Производная знаменателя
;
+
;
.
При постоянной ЭДС или напряжении нулевому корню соответствует принужд. Составляющая.
Рассмотрим третий и четвертый этапы расчета переходных процессов операторным методом, для схемы на рис. 4.11
Рис. 4.11
I(p)
=
;
.
Учтем что в данной схеме i(0) = 0; кроме того, положим е(t) = E; пусть uc(0) ≠ E
Тогда
и
.
Найдем корни полинома знаменателя Н(р) = 0
=
0;
.
Полином знаменателя совпадает с характеристическим уравнением.
Пусть корни – действительные, отрицательные, различные.
.
Переходим к оригиналу:
+
.
Найдем uc(t)
;
;
.
Корень знаменателя р = 0 свидетельствует о наличие принужденной составляющей искомой функции.
Полином знаменателя имеет три корня: р1 = 0; р2; р3. (последнее совпадает с полученным выше).
;
.