Преимущества операторного метода.

1. Решение дифференциальных уравнений заменяется решением алгебраическим.

2. Отсутствует этап нахождения постоянных интегрирования. Начальные условия включаются непосредственно в систему уравнений.

3. Более высокая формализация расчета.

Прямое преобразование

Для перехода к изображениям используется так называемый интеграл Лапласа.

F(p) = .

С помощью этого интеграла находятся все изображения, которые практически используются. Существуют специальные таблицы соответствия для каждого преобразования. Какие функции могут быть преобразуемы по Лапласу?

Они должны удовлетворять следующим условиям:

1.

Рис. 4.5

Для всех значений t< 0 функция f(t) принимается равной нулю (рис. 4.5), т.к. по определению преобразование Лапласа применимо, начиная с момента t = 0+.

2.

Рис. 4.6

Функция f(t) является функцией ограниченного роста (рис. 4.6)

f(t) ≤ Me^ct,

где М, с – какие-то числа.

Числа могут быть большими, но конечными.

При выполнении этих двух условий гарантируется, что имеется область значений t и переменной р, где интеграл сходится, т.е. имеет конечное значение, а это значит, что имеется изображение.

Некоторые свойства преобразований Лапласа

1. f(t) = A = const;

F(p) = = A = -= ;

A ≈ .

При u = const;

u ≈ .

2. Умножение оригинала на постоянную величину соответствует операции умножения изображения на ту же величину.

А f(t) ≈ А F(p).

3. Сумма оригиналов соответствует сумме изображений.

∑f_k(t) ≈ ∑ F_k(p).

Свойства 2 и 3 показывают, что преобразование Лапласа является линейным преобразованием.

4. f(t) = ;

F(p) = = = - = ;

≈; ≈ ;

e ^jωt ≈ ; e ^-jωt ≈ .

5.

f(t) = sinωt = ;

F(p) = .

sinωt ≈ ; cosωt ≈ ;

cosωt = .

6. Изображение производной.

£ = .

Возьмем интеграл по частям.

;

= u ; = dV ; f(t) = V ; du = - pdt;

F(p) = f(t) - = -f(0+) + p ;

≈pF(p) – f(0+).

По определению преобразование Лапласа применимо, начиная с момента

t = 0+

Изображение напряжения на индуктивности:

L ≈ L_pI(p) – Li(0+).

i(0+) – значение тока i при t = 0+

7. Изображение интеграла.

£ .

интеграл возьмем по частям

;

dt = dV ; u ; du = ; V = - ;

F(p) = .

Первое слагаемое равно нулю, т.к. _{t = ∞} = 0, а при t = 0 0.

Второе слагаемое равно .

£ .

Изображение напряжения на конденсаторе.

u_C = + u_C (0) тогда £ u_C = u_C (р);

u_C = .

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим рис. 4.7

Рис. 4.7

Ri + L + u_c = e(t).

Для каждой составляющей уравнения запишем изображение

i ≈ I(p) ; L≈ LpI(p) – Li(0);

e(t) ≈ E(p); Ri ≈ RI(p) ; u_c ≈ ;

Переход от оригиналов к изображениям превращает дифференциальное уравнение в алгебраическое:

RI(p) + L_pI(p) – Li(0) + = E(p).

Это уравнение рассматривается как II₃К в операторной форме

Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле L в следствии протекания через нее тока i(0-) непосредственно до коммутации.

Слагаемое представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле С вследствие наличия напряжения на немu_c(0) непосредственно до коммутации.

Найдем решение для тока в операторной форме

I(p) = . (*)

(Дать схему замещения)

Рассмотрим выражение в знаменателе

Z(jω) = R + jωL + - входное комплексное сопротивление цепи

Проводя замену jω на р, получим оперативное сопротивление ( или обобщенное сопротивление).

Z(р) = R + рL + .

Формулу (*) рассматривают как закон Ома в операторной форме при ненулевых начальных условиях.

(Дать схему замещения в операторной форме)

Если н.у. нулевые, то

I(p) = .