Термины и определения основных понятий

Операторный метод расчета переходных процессов – метод расчета переходных процессов в электрических цепях в основе которого лежит преобразование Лапласа.

Теоретический материал Операторный метод расчета переходных процессов

Недостаток классического метода - необходимость определении постоянных интегрирования, что сложно делать для цепей высокого порядка.

В операторном методе не требуется определение постоянных интегрирования. В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа. Суть использования преобразования состоит в следующем: решение из области действительного переменного t переводится в область комплексного пtременного p=G+jω, где р-оператор.

В результате дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое, проводится решение алгебраического уравнения, и затем осуществляется обратный переход в область действительного переменного t, т.е. находится решение f(t).

Функция f(t) называется оригиналом функции.

F(p)-изображение.

Переход f(t)→F(p) называется прямым преобразованием. Обратный переход называется обратным преобразованием.

Прямое преобразование

Для перехода к изображению используется односторонне преобразование Лапласа.

Функции, которые могут быть преобразованы по Лапласу (рис. 4.1).

1.

Рис. 4.1

По определению принимаем, что преобразование Лапласа применимо с момента t(o+) (рис. 4.2)

Рис. 4.2

2.Рассмотриваемые функции должны быть функциями ограниченного роста.

Свойства преобразования Лапласа:

1.Af(t)=AF(p)

Умножению оригинала на постоянную величину соответствует умножение изображения на ту же постоянную.

2.∑f_k(t) = ∑F_k(p)

Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.

Эти два свойства показывают, что преобразования Лапласа являются линейными преобразованиями.

Примеры преобразований:

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Рис. 4.3

Для схемы (рис. 4.3):

Начальные условия ненулевые

После коммутации:

Для каждой составляющей этого уравнения найдем изображение

Переход от оригинала к изображениям превращает дифференциальное уравнение в алгебраическое.

Второй закон Кирхгофа при ненулевых начальных условиях в операторной форме.

Слагаемое Li(0) представляет внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии магнитного поля индуктивности вследствие протекания через нее тока i(0-) непосредственно до коммутации.

Слагаемое Uc(0)/p представляет собой ЭДС, обусловленную запасом энергии электрического поля емкости вследствие наличия напряжения на ней непосредственно до коммутации.

Рассмотрим знаменатель. Для чего сначала определим комплексное сопротивление после коммутации.

Дает нам входное операторное сопротивление цепи.

С учетом этого выражения (2) рассматриваем как закон Ома в операторной форме при ненулевых начальных условиях .

Для нулевых начальных условий учитывая выше изложенное нарисуем схему для изображений после коммутации (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Существует метод решения линейных дифференциальных уравнений, в котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и для нахождения искомых функций не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования. Этот метод называется операторным методом. В его основе лежит преобразование Лапласа.

Суть использования преобразования Лапласа состоит в следующем: решение из области действительного переменного t переводится в область комплексного переменного p = jω.

Комплексное число р называется оператором. При этом дифференциальное уравнение преобразуются в алгебраические уравнения. Проводится решение алгебраических уравнений и затем осуществляется обратный переход в область действительного переменного t, т.е. находится решение, как функция времени.

Функции f(t) называются оригиналами.

F(p) называются изображениями.

Переход от f(t) к F(p) называются прямым преобразованием. Обратный переход F(p) к φ(t) (решениям) называются обратным преобразованием.

Между оригиналом и изображением нет равенства. Между ними ставится знак соответствия.

f(t) ≈F(p).

В математике существует несколько интегральных преобразований. Каждое из них обозначает своей буквой. Преобразование Лапласа –

£ f(t) ≈F(p)