Критический переходный режим

Пусть R > 2 = 2ρ, где ρ – волновое сопротивление колебательного контура

В этом случае

ρ = ρ _1,2 = - + 0 = - = - = - ω_0.

где ω₀ – резонансная частота.

5. Записываем решение для свободных составляющих

u_{C cв} = + t = ( + t) .

i_cв = ( + t) .

6. Определяем независимые начальные условия

u_C (0-) = 0 = U_c(0+); i(0-) = 0 = i(0+).

7. Определяем постоянные интегрирования

u_C = Е + (+t) ;i = (+t) .

т.к. i = C , получим i = C [+ p(+t) ];

i = C (+ p+ pt) .

При t = 0+ :

отсюда

= -Е;

- рЕ = 0 ; = рЕ.

Окончательно получим

u_C = E + ( -E + pEt) ; u_C = E – E(1 – pt) ;

i = C [ pE + p(-E) + ppEt ] ; i = Cp²Et .

Критический режим является граничным между апериодическим и колебательным. Практическая значимость критического режима обусловлена наименьшим временем переходного процесса в электрической цепи по сравнению с другими режимами (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Колебательный переходный режим

4. Если R < 2 , то корни комплексные сопряжения

р_1,2 = - + .

Обозначим

δ = - коэффициент затухания.

ω₀ = – угловая частота собственных незатухающих колебаний.

Тогда Р = - δ + , обозначим- угловая частота свободных колебаний (угловая частота собственных затухающих колебаний).

Окончательно имеем р_1,2 = - δ + jω.

5. Записываем решение для свободной составляющей

u_{c св} =sin(ωt + θ).

6. Независимые начальные условия

u_c (0-) = 0 = u_c(0+); i(0-) = 0 = i(0+).

7. Определяем постоянные интегрирования

u_C = E + sin(ωt + θ); i = C ;

i = - CAδ sin(ωt + θ) + CωA cos(ωt + θ).

при t = 0+

Решая эту систему, получим

а – неизвестное число.

Отсюда определяем А и θ

A = Аcos θ + jAsin θ = Ae ^{j θ.}

Огибающая свободной составляющей определяется кривой А

Величину - называется постоянной времени колебательного контура.

Обозначим - период свободных колебаний

Быстроту затухания процесса характеризуют величиной (рис. 3.4)

Рис. 3.4

Δ = е ^δТ – называют декрементом колебания, равным отношению двух последующих амплитуд свободных колебаний напряжения или тока

Δ = .

или логарифмическим декрементом колебания

θ = lnΔ = lne^δT = δT.

Контрольные вопросы

1. В чем состоят особенности переходных процессов в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями выше первого порядка?

2. Чем характеризуется апериодический переходный режим?

3. Чем характеризуется критический переходный режим?

4. Что такое колебательный переходный режим?

5. Что такое постоянная времени колебательного контура?

Упражнения и задачи

1. В схемеОм,мГн. Определить емкость, при которой будет апериодический режим.

2. Конденсатор, емкость которого , разряжается через сопротивлениеи индуктивность.

Определить: 1) характер процесса в случаях:

а) Ом,мГн,мкФ;

б) Ом,мГн,мкФ;

в) Ом,мГн,мкФ;

2) период собственных затухающих колебаний в случае колебательного процесса разряда.

3. Какими должны быть начальные условия, чтобы в схеме примера 1 переходный процесс отсутствовал?

4 лекция.

Основные соотношения операторного метода расчета. Изображения функций времени и математических операций.