Первичные параметры линии

• r_0, Ом/км – продольное активное сопротивление на единицу длины линии

• L₀,Гн/км – продольная индуктивность на единицу длины линии.

• g₀, См/км – поперечная проводимость на единицу длины линии.

• С₀,Ф/км – поперечная емкость на единицу длины линии.

Длинная линия у которой первичные параметры одинаковы (постоянны) вдоль длины линии называется однородной.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Рис. 10.2

Рассмотрим рисунок 10.2

x - расстояние от начала линии до произвольной ее точки (места наблюдения)

Напряжения и токи линии являются функциями двух независимых переменных:

- пространственной координаты х, определяющей место наблюдения.

- времени t , определяющей момент наблюдения.

Поэтому уравнения описывающие процессы в линии являются уравнениями частных производных.

Рис. 10.3

Выделим элементарный участок линии длиной Δх на расстоянии х от ее начала (рис. 10.3). Приближенно представим рассматриваемый элементарный участок в виде последовательно включенных сопротивления r₀Δx и индуктивности

L₀Δх и параллельно включенных проводимости g₀Δх и емкости С₀Δх.

Обозначим: U-напряжение между проводами в точке х.

ΔU- приращение напряжения на участке Δх

i-ток линии в точке х.

Δi- приращение тока на участке Δх.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для участка Δх.

Уменьшая Δх получим

- дифференциальные уравнения длинной линии (телеграфные уравнения)

Они могут быть решены при использовании начальных и граничных условий.

Решение уравнений однородной линии для установившегося синусоидального режима (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Обозначим:

U_1,U₂ - комплексные действительные значения U и I в начале линии U_2,I₂ - комплексные действительные значения Uи I в конце линии.

U,I- комплексные действительные значения в точке х.

Пусть к линии приложено синусоидальное напряжение в установившемся режиме работы U и I в любой точке линии так же синусоидальны, а комплексы U и I зависят только от координаты х.

Перепишем телеграфные уравнения в комплексной форме.

Продифференцируем первое уравнение системы по х.

Обозначим: - коэффициент распространения

Тогда - линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его решение:

p1 и р2 – корни характеристического уравнения.

Подставим полученное выражение в первое уравнение исходной системы.

Отсюда:

Обозначим: - волновое сопротивление.

Волновое сопротивление zc и коэффициент распространения γ называются вторичными параметрами длинной линии.

Для определения А1 и А2 будем использовать граничные условия.

Тогда перепишем полученные уравнения используя гиперболические функции.

При отсчете расстояния от конца линии получим:

Получим уравнения ЧП в форме А:

Поэтому γ длинной линии можно рассматривать как постоянную передачи ЧП замещающего линию длиной в 1 км.

Как всякий ЧП линия может быть представлена эквивалентной Т или П -образной схемой (рис. 10.6).

Рис. 10.6

Бегущие волны

Обозначим:

- прямая (падающая ) волна U.

Uм – действующее значение прямой волны линии.

Перейдем к мгновенному значению U падающей волны:

Если считать точку х фиксированной и рассматривать изменение U в ней в зависимости от времени, то оно представляет собой синусоидальную функцию с амплитудой постоянной. Если считать t – фиксированным и рассматривать изменение и вдоль линии ( в зависимости от х), то получим затухающую синусоидальную волну U , амплитуда которой уменьшается с ростом х. Изобразим прямые волны U соответствующие дум следующим друг за другом моментами времени t1 и t2 (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Видно, что волна U перемещается от начала линии к концу.

Так как рассматриваемая волна перемещается от начала линии к концу, то она называется прямой (падающей). Убывание амплитуды волны обусловлено потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.

Α - коэффициент затухания

Β - фазовый коэффициент.

Из уравнения (*) видно, что α характеризует изменение амплитуды волны на единицу длины линии, а β характеризует изменение фазы на единицу длины линии.

Под длиной волны λ понимаем расстояние между двумя точками линии в которых фазы бегущей волны различаются на 2π.

Под фазовой скоростью Vф понимаем скорость распространения точки фаза колебаний которой остается постоянной.

Аналогичное рассуждение можно сделать и для обратной волны U.

Обратные волны перемещаются от конца линии к началу (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Обратные волны можно рассматривать как результат отражения прямых волн от конца линии (отраженные волны).

Рассмотрим выражение для тока

Отсюда видно что

Таким образом волновое сопротивление это отношение комплексного U к комплексному I бегущей волны (падающей или отраженной).