Порядок расчета переходных процессов операторным методом
1.Для цепи после коммутации составляем уравнения относительно изображений операторных токов и напряжений (два способа).
а) Составляем эквивалентные схемы для изображений по которым записываются уравнения с использованием законов электрического тока в операторной форме.
б) Записываются дифференциальные уравнения для мгновенных значений напряжения и тока в цепи после коммутации. Каждой составляющей этих уравнений оригиналу ставится в соответствии изображения записываются те же уравнения для изображений с учетом независимых начальных условий.(см. Закон Ома и Кирхгофа в операторной форме).
2.Полученные алгебраические уравнения решаются относительно изображения искомой величины.
3
.Осуществляется
обратный переход от изображения к
оригиналу (рис. 5.2)
Рис. 5.2
Контрольные вопросы
1. Запишите частные случаи формулы разложения.
2. Опишите алгоритм расчета переходных процессов операторным методом.
Упражнения и задачи
1.
Изображение тока имеет вид:
.
Использовать теорему разложения,
определить
.
2
.
Для цепи, предоставленной на рисунке,
начертить операторную схему замещения
и определить операторное изображение
.
3.
Известно операторное изображение
.
Найти функцию
,
используя теорему разложения.
6 лекция.
Обобщенные законы коммутации и расчет переходных процессов в цепях с некорректными начальными условиями.
Термины и определения основных понятий
Коммутационная операция - дискретный переход контактного аппарата из одного коммутационного положения в другое или бесконтактного аппарата из одного коммутационного состояния в другое.
Примечания.
1. Различают коммутационные операции: включения (В) и отключения (О).
2. Под коммутационной операцией понимают также включение и следующее за ним автоматическое отключение (ВО)
Теоретический материал
Переходные процессы при мгновенных изменениях индуктивностей или емкостей (цепи с «некорректными» начальными условиями)
Рассмотрим цепи (например, рис. 6.2, 6.3) в которых не выполняются законы коммутации (некорректные коммутации). Такие процессы могут возникать в цепях с емкостью и индуктивностью при неодинаковых начальных условиях на них и отсутствия активного сопротивления.
Как и прежде будем полагать, что процесс коммутации мгновенный.
Для определения постоянной интегрирования А нельзя воспользоваться первым законом коммутации, т.к. токи i1и i2 до коммутации различны, а после коммутации одинаковы, и следовательно должны измениться скачком.
Энергия магнитного поля индуктивностей до коммутации больше энергии магнитного поля после коммутации.
Неравенство получилось в результате идеализации процесса коммутации. В действительности он проходит хотя и за малое, но конечное время.
В момент коммутации напряжение на катушке возрастает скачком и в результате между расходящимися контактами ключа также возникает всплеск (скачок) напряжения.
П
оследний
приводит к пробою воздушного промежутка,
возникновению искры (дуги). Часть энергии
магнитного поля расходится на тепловые
потери сопротивления дуги. Кроме того
катушки обладают межвитковой емкостью
и между расходящимися контактами ключа
также существует емкость. Это приводит
к образованию колебательного контура,
который излучает энергию в окружающее
пространство.
Рис. 6.2
Если учитывать все эти быстропротекающие процессы, то окажется, что никаких скачкообразных изменений токов в индуктивности нет и первый закон коммутации выполняется (рис. 6.2).
Однако длительность процесса коммутации по сравнению с общим временем переходного процесса обычно настолько мала, что его можно пренебречь и условно говорить и скачкообразном изменении токов в катушках (и соответственно воспользоваться первым обобщенным законом коммутации).
Будем считать, что коммутация происходит мгновенно, тогда напряжение в момент коммутации изменяется скачком. И для осуществления постоянного интегрирования необходимо воспользоваться вторым обобщенным законом коммутации: суммарный заряд на обкладках конденсаторов к любому узлу послекоммутационной цепи не может измениться скачком.
1. Рассмотрим переходный процесс при скачкообразном изменении индуктивности на примере следующей цепи: в момент t = 0 происходит размыкание ключа (рис. 6.3).
Рис. 6.3
Дифференциальное уравнение после размыкания ключа:
.
А его решение:
(1)
Для нахождения постоянной интегрирования А не можем воспользоваться первым законом коммутации, говорящем о неизменности токов в катушках L1 и L2 в моменты t = 0- и t = 0+
Действительно, в момент t = 0- токи в катушках были различны:
;
.
После размыкания ключа при t = 0+ токи в катушках должны быть одинаковы.
Следовательно, токи в катушках в момент коммутации должны изменяться скачком, что возможно только при появлении бесконечно больших напряжений на катушках.
Но u – конечно, конечны uR1 и uR2 вследствие конечных значений токов, то и сумма напряжений на катушках – конечна.
В этом случае расчет послекоммутационных начальных условий осуществляется на основе обобщенного закона коммутации:
В момент коммутации сумма потокосцеплений с обеими катушками остается неизменной.
;
или
;
(2)
(2)
:
,
т.к.
и
,
то
;
-
отсюда видно, что осталась неизменной
сумма потокосцеплений.
Отсюда:
.
(3)
Из (1): t = 0
=
;
+
(
-
)
.
2. Рассмотрим процесс в цепи, изображенной на рис. 6.4 при замыкании ключа, т.е. процесс при скачкообразном изменении емкости от C1 до C1 + C2.
Рис. 6.4
Будем считать, что при t = 0-
;
.
Дифференциальное уравнение после коммутации
;
.
Или
.
Решение:
(1)
Для определения А нельзя воспользоваться вторым законом коммутации, т.е. неизменностью напряжения на конденсаторах C1 и C2
Так как при t(0-): u1C(0-) = u ≠ 0; u2C(0-) = 0
при t(0+) u1C(0+) = u2C(0+)
В этом случае расчет послекоммутационных начальных условий осуществляется на основе сл-го обобщенного закона коммутации:
в прочесе коммутации сумма зарядов обоих конденсаторов остается неизменной.
;
;
или
;
(2)
(2):
.
Так
как
;
, то (2):
;
.
При t(0+) из (1):
;
.