2 Часть.

1 Лекция

Понятие о переходных процессах в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Законы коммутации. Начальные условия и их определение. Классический метод расчета переходных процессов.

Термины и определения основных понятий

Переходный процесс – это переход системы или электрической цепи из одного установившегося состояния в другое.

Теоретический материал

В большинстве случаев переход осуществляется не мгновенно, а за конечный промежуток времени. Если электрическая цепь содержит С или L , то она способна накапливать энергию электрических и магнитных полей. Энергия этих полей не может изменяться мгновенно. Поэтому только в частном случае чисто активной цепи процесс перехода мгновенный (рис. 1.1, 1.2). Во всех остальных случаях он происходит за конечное время.

Рис. 1.1

i = 0 – 1-ое состояние

i = E/R – 2-ое состояние

Рис. 1.2

i = 0 – 1-ое состояние

i = E/R – 2-ое состояние

Переходные процессы возникают при коммутациях электрических цепей. Под коммутацией понимаем мгновенное изменение состояния цепи, т.е. включение, выключение, подключение какой-либо ветви или группы ветвей (рис 1.3).

Рис. 1.3

Во всех случаях коммутацию будем считать мгновенной, т.е. на включение или отключение время не расходуется.

Законы коммутации

Законы коммутации устанавливают характер изменения физической величины в момент коммутации.

Рис. 1.4

Для оценки тока (напряжения) в момент коммутации вводятся два значения: i(0-)=0 как предел слева, i(0+)=0 как предел справа (рис. 1.4).

При коммутации ветвей с чисто активным сопротивлением токи в них могут изменяться скачком (рис. 1.5).

i_r(0+)≠ i_r(0-)

u_r(0+)≠ u_r(0-)

Рис. 1.5

Запас энергии магнитного поля индуктивности не может изменяться скачком. Это выражает принцип непрерывности во времени потокосцепления в индуктивности. Невозможность скачкообразного изменения объясняется в свою очередь тем, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое U. Следствие равенства илиозначает, что ток индуктивности не может изменяться скачком.

i_L(0+)=i_L(0-)- первый закон коммутации.

Рис. 1.6

Запас энергии электрического поля емкости не может изменяться скачком. Это выражает принцип непрерывности во времени электрического заряда. Невозможность скачкообразного изменения заряда объясняется тем, что в противном случае через емкость протекал бы i_c = ∞, что противоречит опыту.

Вследствие равенства: , напряжение на емкости не может измениться скачкомили(рис.1.6).

u_c(0+) = u_c(0-) - второй закон коммутации.

Следовательно i_L,u_c - величины, которые не могут изменяться скачком;

u_L, i_c, i_r, u_r – величины, изменяющиеся скачком.

Значения функции в момент коммутации называются начальными условиями.

Расчет переходных процессов классическим методом

Метод состоит в следующем:

I. Для цепи (рис. 1.7) после коммутации составляется система уравнений для мгновенных значений u и i по законам Ома и Кирхгофа при этом падения напряжения на R, L, C равны: u_r=ir ; u_L=Ldi/dt; .

Эта система приводится к одному уравнению относительно одной из искомых величин.

В качестве таковой удобно выбирать ток в индуктивности или напряжение на емкости, т.к. они удовлетворяют законам коммутации. Исключение интегрального выражения производится либо путем дополнительного дифференцирования либо заменой емкостного тока на i_c=Cdu_c/dt.

В итоге (в большинстве случаев) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение, т.е. с правой частью. Порядок дифференциального уравнения соответствует числу мест независимого накопления энергии индуктивности и емкости.

II. Решение дифференциального уравнения складывается из частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения .

Частное решение i_пр(i_уст) определяется видом функции, стоящей в правой части дифференциального уравнения и называется принужденной составляющей. Оно совпадает с установившимся значением искомой величины после окончания переходного процесса.

Общее решение дифференциального уравнения физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях.

Общее решение называется свободной составляющей. Оно определяется через постоянные интегрирования А₁,А₂,…А_n, и корни характеристического уравнения р₁,р₂,…р_n, где n - порядок дифференциального уравнения.

Рис. 1.7

Свободная составляющая записывается в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

1. Корни действительные (отрицательные, неодинаковые)

р₁≠р₂≠р₃≠…≠р_n<0;

i_св=А₁е^p1t +А₂е^p2t +…+А_nе^pnt - апериодический переходный процесс.

2.Корни действительные (отрицательные, одинаковые).

р₁=р₂=…=р_n=р,

i_св=А₁е^pt +А₂tе^pt +…+А_nt^n-1e^pt - критический переходный процесс.

3. Корни коплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью.

р_1,2=-δ±jω.

i_св=Ае^-δtsin(ωt+α) - колебательный переходный процесс.

III. Определение корней характеристического уравнения

1. В соответствии с однородным дифференциальным уравнением заменить d/dt на р и приравнять к нулю.

2. В цепи после коммутации разорвать любую ветвь. Записать комплексное входное сопротивление цепи относительно точек разрыва z(jω), заменить jω на р и приравнять z(р)=0.