§ 4. Источник и сток в пространстве.

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(1.42)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала  = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad  ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad  направлен в сторону роста , то v направлена по r. Если Q < 0, то v направлена по - r (рис. 6). Величина скорости равна:

|(grad _r)| = .

Рис. 6

Скорость стремится к нулю при r   и к бесконечности при r  0. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q > 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q < 0 (2) — втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем источник, а во втором — сток.

Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность сферы S некоторого радиуса r с центром в начале координат. Через элемент сферы d за единицу времени протекает объем жидкости v d, а через всю сферу

(расход жидкости)

( v можно вынести за знак интеграла, так как v = const на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда v = v (r) и v ортогональна к поверхности сферы S. Вычисленный объем жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на разных сферах разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале  (1.42) является объемом жидкости протекающей за единицу времени через каждую такую сферу. Величина Q называется расходом или мощностью источника (стока).

Если Q = const, то источник или сток имеет постоянную мощность; если Q = Q (t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно измеряется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменение Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м/сек.

Греческий алфавит

Α α – альфа Ν ν – ни (ню)

Β β – бэта Ξ ξ – кси

Γ γ – гамма Ο ο – омикрон

Δ δ – дельта Π π – пи

Ε ε – эпсилон Ρ ρ – ро

Ζ ζ – дзэза Σ σ – сигма

Η η – эта Τ τ – тау

Θ θ – тэта Υ υ – ипсилон

Ι ι – иота Φ φ – фи

Κ κ – каппа Χ χ – хи

Λ λ – ламбда Ψ ψ – пси