§ 2. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале

1. При ламинарном течении ньютоновской жидкости, согласно соотношениям (3.1), сохраняется только одно из уравнений состояния (2.24), а именно

(3.6)

Из сравнения этого уравнения с решением (3.3) следует дифференциальное уравнение относительно скорости

решение которого при граничном условии v(h) = 0 имеет вид

(3.7)

где 2h - ширина щели.

В результате по формулам (3.5) легко определяются основные характеристики потока:

(3.8)

где b - длина поперечного сечения щели; Rе_щ = р v_ср2h/μ – параметр Рейнольдса для плоской щели.

2. При ламинарном течении неньютоновской жидкости Шведова –Бингама, используя соотношения (3.1) в формулах (2.26) и (2.27), получим

(3.9)

где выбран знак (-), так как . Поэтому система уравнений (2.24) упрощается до одного уравнения

(3.10)

где 2h₀ – жесткое ядро потока (рис. 22).

Рис. 22. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова – Бингама.

Из сравнения соотношений (3.3) и (3.10), получим уравнение скорости

(3.11)

и формулу для вычисления ядра потока

(3.12)

Интегрируя уравнения (3.11) при условии v(h) = 0, найдем следующее распределение скорости:

(3.13)

Отсюда следует, что при h₀ = h движение жидкости происходить не будет, так как v(x) = 0. Поэтому условием существования движения является h₀ < h или, используя формулу (3.12),

Однако если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига τ₀, а статическим τ₀₀> τ₀ , то условием страгивания покоящейся жидкости будет

По формулам (3.5) определяются основные характеристики потока, впервые полученные М. П. Воларовичем и А. М. Гуткиным:

(3.14)

где

Видно, что в данном случае кинематические характеристики потока Q, v_cp и коэффициент сопротивления λ зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает известные трудности при решении обратной задачи.

Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи то, приняв получим

(3.15)

где - обобщенный параметр Рейнольдса; приведенная вязкость жидкости Шведова-Бингама;

- параметр Сен-Венана для плоской щели.

3. Для неньютоновской жидкости Освальда — Вейля, используя в последней системе уравнений (2.24) соотношения (3.1) и (3.9), получим

При сопоставлении этого уравнения состояния с (3.3) приходим к относительно скорости:

(3.16)

Интегрируя это уравнение при граничном условии v(h) = 0, получим распределение скорости

(3.17)

где

В результате интегральные характеристики потока (3.5) будут

(3.18)

где - обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости Освальда-Вейля для плоской щели. При

n =1 и k = μ формулы (3.17) — (3.18) совпадут с формулами (3.7) —(3.8).

4. При турбулентном режиме течения, когда параметры Rе, Re* или Rе' больше критических значений, решение уравнения движе­ния записывается в виде [сравните с (3.3)]

(3.19)

Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (3.6), (3.10) или (3.16). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.20), (3.1) и (3.9) удовлетворяет уравнению Прандтля:

(3.20)

где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - x, т. е.

s, (3.21)

где — константа, определяемая из опыта.

Напряжение имеет существенное значение лишь в непосред­ственной близости от стенок канала, т. е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.

В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением . Поэтому после подстановки (3.20) и (3.21) в (3.19) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:

(3.22)

где - приведенное значение касательного напряжения; s₁—внешняя граница буферной зоны.

Прандтль ввел в уравнение (3.22) упрощение (физически, вообще говоря, ничем не обоснованное), положив правую часть уравнения равной . Но доказывается, что это упрощение вносит в конечный результат весьма небольшую погрешность.

Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала , то уравнение (3.22) примет вид

Интегрируя это уравнение при условии , получим следующий универсальный закон распределения скорости:

(3.23)

В области, близкой к стенке канала ( ), профиль скорости отклоняется от распределения (3.23). Однако, учитывая, что отношение , можно в гидродинамических расчетах не принимать во внимание профиль скорости в пристенной области.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что логарифмическое распределение (3.23) достаточно хорошо описывает профили скоростей при турбулентных течениях различ­ных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением, разумеется, узких пристенных об­ластей). Различия могут составлять лишь входящие в (3.23) параметры.

Тогда для практически гладких и вполне шероховатых каналов формула (3.23) переписывается в виде

(3.24)

При s = h - получим максимальные значения скоростей

(3.25)

С учетом (3.25) формулы (3.24) можно записать так:

(3.26)

Отсюда путем интегрирования легко получить среднюю по сечению скорость потока

(3.27)

Найдем коэффициент сопротивления по формуле (3.8):

Если здесь воспользоваться формулами (3.27), (3.25) и преобра­зованием

то получим универсальный закон сопротивления:

для гладкого канала:

(3.28)

для вполне шероховатого канала

(3.29)

Из формул (3.28) и (3.29) следует вывод: для гладких стенок коэффициент сопротивления λ зависит только от параметров Рейнольдса, а для вполне шероховатых — от отношения s₀/h.

При переходном режиме, т. е. когда выполняется условие , коэффициент сопротивления зависит от Rе и s₀/h.

Способ его определения в этом случае, основанный на экспери­ментальных данных. В практических расчетах обычно в формулах (3.24) и (3.25) константу 8,5 заменяют на 9 и соответственно в формуле (3.29) — константу 2,12 на 2,3. Эти константы для каналов с естественной шероховатостью устанавливаются опытным путем.

Примечание. Все приведенные в этом параграфе формулы могут быть использованы и при расчете характеристик течения жидкостей по наклонной плоскости или в длинном лотке (желобе), у которого ширина b днища во много раз больше глубины потока h. Для этого необходимо принять и заменить 2b на b, где — угол наклона плоскости (лотка) к горизонту.