§ 6. Мгновенные уравнения состояния и критерии прочности
1. Характерные мгновенные свойства твердых тел
при кратковременном осевом растяжении (сжатии).
На
примере кратковременного осевого
растяжения (сжатия) цилиндрического
образца легко проследить характерные
мгновенные свойства твердых тел. На
рис. 12 показан общий вид деформационной
кривой напряжение – деформация (
).
Эту кривую условно разбивают на следующие
характерные участки:
ОА – участок упругих деформаций, где материал подчиняется линейному закону Гука
(2.66)
с коэффициентом пропорциональности Е, называемым модулем упругости, или модулем Юнга;
АВ
– участок пластического течения (или
текучести), характеризуемым нарастанием
деформации или неизменном напряжении
,
которое называется пределом
упругости или
пределом
текучести;
ВС – участок упрочнения, где нелинейная зависимость между напряжением и деформацией по аналогии с уравнение (2.56) представима в форме
(2.67)
с
коэффициентом
,
называемым модулем
пластичности;
СD
– участок разрушения, напряжение
называется пределом
прочности;
LM – участок разгрузки или повторной нагрузки.
Рис.12. Общий вид деформационной кривой
Если
точка
L
расположена выше точки А,
то при полной разгрузке исчезает
накопленная упругая деформация
и сохраняется деформация пластическая
.
При повторном нагружении образца его
диаграмма мало отличается от кривой
MLC,
т.е. материал в результате первоначального
нагружения выше
как бы приобретает дополнительные
упругие свойства и повышает предел
упругости
;
это явление называется упрочнением.
Функцию удобно задавать в аналитической форме, при выборе которой необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах.
Экспериментально установлено, что степенной закон
(2.68)
является часто наиболее приемлемым, где К и т – константы материала при испытаниях в заданных условиях.
Рис. 13. Деформационные кривые сухой глины
(1,
2, 3 – соответственно при
=
92, 29,13 МПа
В
качестве примера на рис.13 показаны
диаграммы
,
построенные для высушенной на воздухе
глины при нескольких значения всестороннего
давления
,
в табл. 1 – результаты обработки этих
диаграмм.
Таблица 1
, МПа |
Е, 103, МПа |
|
|
K, МПа |
m |
|
13 |
1 |
20 |
36 |
107 |
0,4 |
14 |
29 |
1,1 |
22 |
46 |
132 |
0,4 |
18 |
92 |
3 |
30 |
93 |
229 |
0,4 |
13 |
,
МПа
,
МПа
,
%( - общая деформация до разрушения)
Параметры
K
и
т
определялись
следующим образом. Кривые на рис. 13
перестраивались в логарифмических
координатах
,
и после сравнения полученной прямой с
зависимостью
определялись искомые параметры.
При
осевом нагружении цилиндрического
образца изменяется и его поперечный
размер, определяемый деформацией
.
Величина
v,
равная отношению абсолютных значений
поперечной деформации
к продольной
в упругой области при осевом нагружении
образца, называется коэффициентом
Пуассона.
Способность
твердых тел сжиматься (уплотняться) или
расширяться (разуплотняться) устанавливается
диаграммой всестороннее давление –
объемная деформация
.
Экспериментально установлено, что в
широком диапазоне давлений зависимость
можно принимать в виде
(2.69)
где
- модуль объемного сжатия или расширения
в зависимости от вида нагружения.
Определение модуля эквивалентно определению коэффициента Пуассона v, так как они связаны зависимостью
. (2.70)
Отсюда, в частности, следует, что для реальных тел коэффициент Пуассона не может превосходить значения 0,5, т.е. 0 < v < 0,5.
Если
для какого-либо тела можно принять v
= 0,5, то такое идеальное тело принято
называть несжимаемым, так как согласно
(2.70),
.
Рис. 14. Возможные виды деформационных кривых и соответствующие им формы разрушений для образцов горных пород
Деформационная кривая может иметь разнообразный вид в зависимости от свойств материала и внешних условий. По этой кривой находят не только основные механические параметры тела, но и устанавливают определяющее его свойство – меру пластичности. Существуют различные классификации тел. Рекомендуется, например, следующая, довольно полная классификация горных пород [Справочник физических констант горных пород под редакцией С. Кларка]:
а) очень хрупкая (рис.14, кривая 1), когда деформация, по существу, упругая до внезапного разрыва, характеризуемого образованием трещин отрыва перпендикулярно к наименьшему главному напряжению; накопленная при этом деформация не выше 1%;
б) хрупкая (кривая 2), когда наблюдается малая пластическая деформация до разрыва и образуются трещины отрыва и скола; накопленная деформация составляет 1 – 5%;
в) умеренно хрупкая (кривая 3), когда поведение промежуточное между хрупким и текучим, пик обозначает нарушение без общей потери связности, а разрушение происходит в результате образования трещин скола; накопленная деформация составляет 2 – 8%;
г) умеренно пластическая (кривая 4), когда разрушение сопровождается рассеянной деформацией, а накопленная деформация составляет 5 – 10%;
д) идеально пластическая (кривая 5), когда хорошо выражен предел текучести, сменяющийся постоянным однородным течением; деформация до разрыва более 10%;
е) пластическая с упрочнением (кривая 6), когда предел текучести может быть плохо выражен и процесс сопровождается работой упрочнения; деформация до разрыва более 10%.
Принадлежность горной породы к одному из приведенных типов определяет расчетную математическую модель и предельное состояние. В принципе, этой классификацией можно пользоваться при изучении любого твердого тела.
Среднестатистические
значения опытных величин
,
соответствующие различным видам (сжатие,
растяжение, изгиб, сдвиг) и условиям
(температура, давление, влажность,
скорости нагружения и др.) испытаний,
принимаются в качестве основных
механических параметров при кратковременных
нагружениях изотропных твердых тел.
Важной задачей экспериментального
исследования является установление
аналитической зависимости этих параметров
от указанных факторов.
Многочисленными
испытаниями установлено, что рост
всестороннего давления и скорости
деформирования способствует увеличение
параметров
и
и переходу от хрупкого поведения к
пластическому, а рост температуры и
влажности, снижая предел текучести,
препятствует образованию трещин и
усиливает текучесть без заметного
изменения формы деформационной кривой
.
Особое значение эти зависимости имеют
для горных пород.
В
практике инженерных расчетов чаще
других используется следующая эмпирическая
зависимость предельного значения
(
или
)
от среднего нормального напряжения
,
предложенная Э. Хоеком:
,
(2.71)
где
с
–
значение
при
;
a,
b
– константы, являющиеся функциями
температуры, влажности и др.
При с = 0 получится зависимость, впервые предложенная Д. Франклином.
Для многих горных пород хорошей аппроксимацией может оказаться линейная зависимость, называемая критерием Мора,
(2.72)
Примером влияния влажности W на механическую прочность пород может служит понтическая глина. Для этой глины линейная аппроксимация (2.72) вполне приемлема до давления =50 МПа, а зависимость параметров с и а от влажности показана ниже.
W, % |
2 |
5 |
11 |
13 |
c, МПа |
10 |
7 |
5 |
3 |
а |
1,4 |
4,26 |
0,5 |
0 |
Инженерные расчеты удобно проводить, когда зависимость параметров с, а, b, равно как и K и т в формуле (2.68), от температуры и влажности принята в аналитической форме. Однако таких общепринятых норм в литературе не предложено. Поэтому необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах с требуемой точностью. Например, в формуле (2.68) часто бывает удобным фиксировать показатель т, а коэффициент K считать линейной функцией, или экспонентой.
2. Упругое деформирование изотропных тел
при сложно-напряженном состоянии.
При сложно-напряженном состоянии упругое деформирование изотропных тел описывается общими уравнениями состояния, называемыми обобщенным законом Гука:
(2.73)
т.е. компоненты девиаторов напряжений и деформаций, среднее нормальное напряжение и относительное изменение объема пропорциональны или в эквивалентной форме:
(2.74)
т.е. компоненты тензора напряжений суть линейные функции компонент тензора деформаций и обратно:
(2.75)
где
-
модуль сдвига;
-
коэффициент Ламе. Характерно, что
коэффициенты пропорциональности в этих
общих уравнения определяют параметрами,
получаемым при простых видах нагружения.
На основании уравнений (2.73) и формул (1.21), (1.40) выведено полезное соотношение
,
(2.73/)
т.е. интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна интенсивности деформаций сдвига Г.
Более сложными уравнениями описывается неупругая деформация. В приложениях обычно пользуются упрощенными теориями пластичности.
Наиболее широкое применение получили уравнения состояния деформационной теории пластичности
(2.76)
или в эквивалентной форме
,
(2.77)
и обратная зависимость
,
(2.78)
которые являются простым обобщением уравнений (2.73) – (2.75).
В
уравнениях (2.76) – (2.78) функция g(Г)
в силу соотношения
и
формулы (2.67) определяется по виду функции
,
например, подобно формуле (2.68):
.
Функция
служит коэффициентом в обратном
соотношении
:
например, для степенного закона (2.68)
,
где
.
В случае несжимаемого тела (v = 0,5) уравнения состояния принимают вид
.
В состояния пластического течения (см. рис.12 участок АВ), например, при обобщенном критерии Губера – Мизеса, характеризующим переход к пластическим деформациям,
, (2.79)
в
уравнениях (2.76) и (2.77) функцию g(Г)
необходимо принять
или
,
где
-
интенсивность напряжений [см. формулу
(1.41)]. В этом случае нельзя однозначно
определить компоненты деформации
,
подобно формуле (2.78), что вполне
естественно, если обратить внимание на
участок АВ (см. рис. 12), где нет взаимно
однозначного соответствия между
и
.
3. Критерий прочности
при кратковременном монотонном нагружении.
Критерий
прочности при
кратковременном монотонном нагружении
– это есть условие перехода какого-либо
элемента нагруженного твердого тела в
состояние хрупкого разрушения или
пластического течения, когда в известной
мере исчерпывается несущая способность.
При одноосном напряженном состоянии
критерий прочности оценивается
предельным, или опасным, значением
напряжения; например, на рис. 12 это
или
.
При переходе к сложному напряженному
состоянию исходят из простейшего
естественного предположения: уравнение
предельного состояния не должно зависеть
от выбора системы координат и должно
содержать лишь инварианты, характеризующие
напряженное состояние. Согласно выводам
лекции 1.2, этими инвариантами будут T
– интенсивность
касательных напряжений;
-
среднее нормальное напряжение;
- параметр Лоде – Надаи. Поэтому в общем
случае критерий прочности определяется
некоторой предельной поверхностью
Предложено много различных критериев прочности при сложно-напряженном состоянии изотропных тел. В инженерных расчетах чаще других применяют критерий Шлейхера – Надаи
,
(2.80)
где вид функции в правой части устанавливается экспериментально по данным опытов для конкретных материалов.
В
частности, при
из (2.70) следует критерий Губера – Мизеса
(2.79) или эквивалентный ему по форме
энергетический критерий. Оба этих
критерия основаны на гипотезе, по которой
процесс разрушения зависит главным
образом от изменения формы элемента
тела.
При достижении потенциальной энергией формоизменения элемента тела предельного состояния наступает его разрушение или переход к пластической деформации.
Если
,
то из условия (2.80) следует обобщенный
критерии Мора
.
Используя формулы разд.2, критерий (2.80)
можно сформулировать в терминах
максимального касательного
и нормального
напряжений:
.
Например,
относительно главных координатных осей
при условии
,
обобщая соотношение (2.71), можно принять
.
Иногда в качестве критерия разрушения используются ограничения деформаций.
Изучая механическое поведение горных пород, надо иметь в виду присущие им важные особенности: с одной стороны, деформационную и прочностную анизотропию, обусловленную слоистостью, сланцеватостью или направленной трещиноватостью их строения, а с другой – наличием пор или трещин, заполненных пластовой жидкостью, газом или их смесью.
4. Трансверсально-изотропные тела (свойства анизотропии горных пород в плоскости, параллельной напластованию).
При изучении анизотропии горных пород чаще всего ограничиваются изучением свойств горных пород в плоскости, параллельной напластованию, и плоскости, перпендикулярной к напластованию, считаю любое из направлений в этих плоскостях эквивалентным в отношении механических свойств.
Такие тела принято называть трансверсально-изотропными. Ниже приведены упругие постоянные некоторых горных пород, заимствованные из разных литературных источников: Е, Е’ – модули Юнга по направлениям, параллельным напластованию и перпендикулярным к ним; v, v’ – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие в плоскости напластования при сжатии в той же плоскости и в направлении, перпендикулярном к ней.
Если
координатная плоскость
выбрана
параллельно плоскости напластования,
а ось
- перпендикулярно к ней, то обобщенный
закон Гука записывается в виде:
(2.81)
где
- модули сдвига в плоскости
и в перпендикулярных к ней плоскостях.
Упругие постоянные горных пород |
|
|
|
|
Алевролит |
6,21 |
5,68 |
0,29 |
0,26 |
Глинистые сланцы |
3,16 |
1,54 |
0,22 |
0,22 |
Песчаник |
1,57 |
0,96 |
0,21 |
0,28 |
Песчанистый сланец |
1,07 |
0,52 |
0,41 |
0,20 |
МПа
МПа
Для большинства горных пород модули сдвига рекомендуется вычислять по формулам
,
где
- основной параметр анизотропии.
Упругие постоянные анизотропных тел не инварианты относительно поворота системы координат, т.е. при изменении направления осей координат закон Гука видоизменяется.
Уравнения (2.81) не изменятся только при повороте координатной плоскости вокруг оси . В остальных случаях они видоизменяются.
Известно, что прочность горных пород на сжатие существенно отличается от прочности на растяжение или сдвиг. Кроме того, прочность может зависеть от направления сжатия, растяжения и сдвига относительно плоскостей напластования. Поэтому, используя результаты нескольких простых опытов, отличающихся видом напряженного состояния и направлением нагружения относительно плоскостей напластования, необходимо определить уравнение предельной поверхности данной горной породы. Для этой цели можно воспользоваться каким-либо обобщенным критерием для анизотропных тел.
Сравнительно простым критерием прочности может служить:
, (2.82)
который представляет собой обобщение критерия Мора (2.71) относительно главных направлений.
Для
хрупкого тела, подчиняющегося этому
условию, должно выполняться следующее
соотношение между пределами прочности
на растяжение
и сжатие
в
плоскости напластования
и направлении
,
перпендикулярном к ней:
.
Постоянные А, В и С связаны с пределами прочности формулами вида
Предложены и более сложные критерии разрушения анизотропных тел, содержащие большое число констант, подлежащих определению на основании опытных данных. Однако использование их вряд ли возможно из-за больших трудностей в проведении опытов.
Из
(2.82) как частный случай следует критерий
прочности для изотропных тел
:
,
(2.82’) ??????????
где
.
Этот критерий является одним из весьма полезных разновидностей общего критерия (2.80) для оценки прочности горных пород и цементного камня.
5. Трехосное компрессионное испытание горных пород.
Наиболее
полное изучение механических свойств
горных пород, учитывающее влияние
порового (пластового) давления,
осуществляется путем трехосного
компрессионного испытания, принципиальная
схема которого показана на рис. 15, а.
Цилиндрический образец диаметром d
=
10 – 30 мм и высотой l
= 1 – 3d
упаковывают в непроницаемую оболочку
и помещают в специальную толстостенную
стальную камеру, где поддерживаются
необходимое всестороннее давление
и температура
ºС. Поровое давление
поднимается до желаемого значения
волюмометром. Осевое дополнительное
(дифференциальное) напряжение передается
гидравлическим или винтовым прессом
через поршень, который входит в верхнюю
часть камеры. Изменение свободного
объема порового пространства регулируется
движением поршня в камере волюмометра,
предназначенного для поддержания
постоянного порового давления во время
деформации образца.
Рис. 15. Схема экспериментального изучения деформационных свойств горных пород
В
испытаниях на сжатие или растяжение
дифференциальное давление
накладывается на гидростатическое
,
поэтому напряженное состояние в каждой
точке образца определяется тремя
главными компонентами (рис. 15, б)
.
6. Эффективные напряжения при деформации горных пород.
Опытами доказано, что деформация объема и величина предельного напряжения горной породы зависят исключительно от эффективных напряжений
,
где
- коэффициент порового давления,
характеризующий различную сопротивляемость
скелета породы растяжению и сжатию;
- модули объемной деформации расширения
и сжатия соответственно. В это же время
установлено, что изменение формы элемента
тела не зависит от порового давления.
Следовательно,
для учета поровых (пластовых) давлений
необходимо во всех приведенных выше
уравнениях состояния и критериях
прочности нормальные напряжения
и среднее давление
заменить эффективными напряжениями
и
,
оставив без изменения касательные
напряжения
.
Например, закон Гука (2.75) и критерий прочности (2.80) перепишутся в виде
; (2.75’)
.
(2.80’)
В
таком случае все исходные уравнения,
включая и уравнения движения (2.9), будут
содержать суммарные (тотальные) напряжения
.
Однако можно поступить иначе: сохранить
прежний вид уравнений состояния и
предельной поверхности, но дополнить
уравнения движения объемной силой,
равной
.
В этом случае под напряжениями следует
понимать эффективные напряжения. Ясно,
что оба подхода эквивалентны.
Для
глин и глинистых пород, склонных к
набуханию, компоненты деформации
в уравнениях состояния (2.75’) необходимо
дополнить слагаемыми
,
где
-
коэффициент объемного расширения при
увлажнении породы;
-
начальная и текущая влажность породы.
Аналогично
учитывается расширение (сжатие) любого
твердого тела при нагревании (охлаждении)
введением в уравнения состояния слагаемых
,
где
-
коэффициент объемного расширения при
нагревании;
ºС,
ºС – начальная и текущая температура
тела.
Лекция 6 § 7. ВРЕМЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И
КРИТЕРИИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
Вязкие (или реологические) свойства твердых тел устанавливаются главным образом по данным опытов на ползучесть. Ползучестью называется накапливание деформации во времени при постоянном напряжении.
Рис. 16. Общий вид кривой ползучести
На
рис. 16 показана типичная кривая ползучести
при фиксированном эффективном напряжении
сжатия
(или растяжения) и определенных внешних
условиях (температура, давление,
влажность). На этой кривой выделяют
условно три стадии ползучести:
АВ – неустановившаяся, она характеризуется уменьшением скорости деформации;
ВС – установившаяся, скорость постоянная;
СД – прогрессирующая, скорость деформации растет вплоть до момента разрушения.
Деформация
образца на первом участке сопровождается
структурными изменениями, которые
затрудняют ползучесть, происходит
упрочнение. Выход на участок ВС означает,
что материал исчерпал способность
упрочняться, и вследствие этого
уменьшилась скорость деформации.
Ускоренная ползучесть на участке СД
объясняется зарождением и развитием
трещин. Участок вертикальной оси 0А
соответствует мгновенной деформации
,
коротая в зависимости от уровня напряжения
может
быть либо упругой, либо содержать
мгновенную пластическую деформацию. В
любой момент времени полную накопленную
деформацию можно определить в виде
суммы
,
где
-
деформация ползучести.
Рис. 17. Серия кривых ползучести Рис. 18. Семейство изохронных кривых ползучести
1. Теория старения
Для
описания участков кривой ползучести
используются различные теории (гипотезы).
Так, для описания первых двух участков
кривой чаще других используется теория
старения,
согласно которой полная деформация
является функцией напряжения и времени
при фиксированных внешний условиях
(давление, температура, влажность и
т.д.), т.е.
.
Эта функция задается серией кривых
ползучести (рис. 17), которые затем
перестраиваются в изохронные кривые в
координатах
(рис. 18). Техника подобной перестройки
очевидна. Проведем на рис. 17 вертикальную
прямую, соответствующую
.
Точки пересечения этой прямой с кривыми
ползучести определяют пары значений
и
.
Построив их в соответствующей системе
координат, получим кривую
для
момента времени
(см.
рис. 18). Подобным образом строятся кривые
для других моментов времени. Эту серию
кривых называют семейством изохронных
кривых. Кривая мгновенного деформирования
(t
= 0)
также является изохронной.
Экспериментально установлено, что совокупность изохронных кривых можно описать с помощью следующей эмпирической формулы
,
(2.83)
где
-
параметры ползучести.
Для
вязкопластичного тела функция
нелинейная, определяется согласно
(2.68). Для вязкоупругого тела
,
и с учетом (2.83) деформацию вычисляют по
формуле
.
(2.84)
Рис. 19. К определению параметров ползучести
а – деформационная кривая; б – исходная кривая по ползучести; в – преобразованная кривая по текучести
Чтобы
определить параметры ползучести,
достаточно располагать кривой мгновенного
деформирования (рис. 19, а)
или хотя бы одной кривой ползучести
(рис. 19, б).
Измерив на кривой ползучести ординаты
,
соответствующие моментам времени
при
,
откладываем их по оси абсцисс на диаграмме
мгновенного деформирования; полученные
ординаты обозначаем через
.
Теперь построим новый график (рис. 19,
в).
По оси абсцисс отложим
,
по оси ординат -
.
Из соотношения (2.83) должно выполняться
равенство
.
Откуда
- величина отрезка, отсекаемого построенной
прямой на оси ординат, а
-
ее угловой коэффициент. Естественно,
более точные результаты получатся, если
использовать несколько кривых ползучести.
Характерно, что параметр близок к 0,3 для различных горных пород.
По теории старения для описания сложного напряженного состояния
пользуются
теми же уравнениями обобщенного закона
Гука [см формулу (2.73)], в которых надо
модули упругости G
и
пластичности
заменить
функциями времени
и
соответственно.
Ниже приведены средние значения параметров и для некоторых горных пород при времени, заданном в с.
коэффициенты |
|
|
Песчаник |
0,0046 |
0,283 |
Известняк |
0,0067 |
0,299 |
Глина кембрийская |
0,01 |
0,2 |
Аргеллит |
0,0158 |
0,279 |
Алевролит |
0,0368 |
0,285 |
Галит |
0,085 |
0,2 |
Каменная соль |
0,15 |
0,246 |
Благодаря простоте и удобству, теория старения нашла широкое применение в практике инженерных расчетов. Но в силу того, что эта теория исходит из опытов на ползучесть при постоянных нагрузках, ею можно пользоваться только в условиях постоянства напряженного состояния или медленного монотонного его изменения.
Для общего случая нагружения твердого тела используют уравнения состояния хорошо разработанной
2. теории наследственной ползучести.
Ограничимся
лишь уравнением состояния линейной
теории наследственной ползучести при
одноосном упругом сжатии (растяжении)
образца переменным во времени напряжении
:
(2.85)
или,
если известна деформация ползучести
,
то
,
(2.86)
где аналитически связанные функции K(t) и R(t) называются соответственно ядром ползучести и резольвентой ядра ползучести.
Физический
смысл функций K(t)
и
R(t)
простой: функция
-
скорость ползучести при постоянном
единичном напряжении, а функция
-
скорость изменяющегося во времени
напряжения, необходимого для поддержания
постоянной единичной деформации.
Отсюда ясен экспериментальный метод определения функции K(t) по кривой ползучести и R(t) – по релаксационной кривой. Если теория не подвергается сомнению, то необходимость в экспериментальном определении резольвенты отпадает, так как функция R(t) находится аналитически по известному ядру ползучести.
В литературе известно несколько видов ядер ползучести. Наиболее употребляемым является ядро типа Абеля:
,
(2.87)
используя
которое в уравнении (2.85) при
,
получим уравнение (2.84) теории старения,
в котором
.
Поэтому из сопоставления уравнений (2.84) и (2.86) легко установить, что резольвентой ядра ползучести (2.87) является функция
.
Теория наследственной ползучести включает в себя как частные случаи все известные упрощенные теории, например такие, как:
а) релаксационная теория упруговязких сред Максвелла;
б) теория упруговязкой среды Кельвина – Фойгта (модель Кельвина – Фойгта);
в) теория вязкопластичной среды Шведова – Бингама (модель Шведова – Бингама).
Дифференцируя
обе части уравнения (2.85) по t
и принимая в нем ядро
,
получим уравнение Максвелла
.
(2.88)
Если
в начальный момент времени под действием
напряжения
деформация
образца составила
и
в дальнейшем поддерживается постоянной
,
то из уравнения (2.87) следует закон
релаксации напряжения
,
где
называется
периодом
релаксации напряжений.
При
постоянном напряжении (
)
из уравнения (2.88) следует, что тело течет
подобно вязкой жидкости.
Аналогично можно получить уравнение Кельвина – Фойгта
и уравнение Шведова – Бингама
где - предел текучести (см. рис. 12).
3.Теория установившегося течения
Если
участок АВ кривой ползучести (см. рис.
16) мал и им можно пренебречь, то применяют
теорию установившегося течения, согласно
которой скорость ползучести
в
каждый момент времени зависит от
напряжения
при фиксированных внешних условиях,
т.е. имеем кинетическое уравнение
ползучести
.
Удобными
аналитическими аппроксимациями функции
являются:
степенная зависимость
,
(2.89)
и экспоненциальная
,
(2.90)
где
-
некоторая характерная скорость, которую
удобно выбрать за единицу масштаба;
-
параметры ползучести в условиях опыта.
Рис.20. Характерный вид ступенчатого нагружения образцов при испытаниях их на ползучесть
Экспресс-метод
определения параметров ползучести
заключается в следующем: серия образцов
подвергается ступенчатому нагружению
(при фиксированных
)
по некоторой программе (рис. 20). На каждой
ступени нагружения снимается кривая
зависимости деформации от времени, по
которой определяется скорость ползучести.
Таким образом, для каждого образца
(порядковый номер j)
получается последовательность из
точек
диаграммы
(N
– число ступеней). Если принять закон
ползучести в форме (2.89), то эти точки,
нанесенные в координатах
,
определяют прямую
.
Параметры
и
для
каждого образца находятся методом
наименьших квадратов. После этого
проводится осреднение полученных
характеристик для разных образцов.
Совершенно
аналогично находятся параметры
экспоненциального закона ползучести
(2.90), которому соответствует линейная
зависимость
.
Таблица 20
Порода |
ºС |
В МПа |
т |
Галит |
80 |
7,94 |
7,7 |
100 |
5,19 |
7,7 |
|
150 |
3,71 |
7,7 |
|
Бишофит |
50 |
2,76 |
4,28 |
Гипс, насыщенный водой |
24 |
1,9 |
4,88 |
В
табл. 20 приведены значения параметров
ползучести В
и т
некоторых горных пород, вычисленных по
данным литературных источников при
.
При описании сложно-напряженного состояния по этой теории уравнения (2.73) – (2.75) также справедливы, если в них компоненты деформации заменить компонентами скоростей деформации и соответственно интенсивность деформации сдвига Г – на интенсивность скоростей деформации сдвига Н, т.е. в общем случае будет
.
(2.91)
4. Теория разрушения
Для описания третьего участка СD кривой ползучести и прогнозирования момента разрушения применяется теория разрушения, согласно которой кинетическое уравнение ползучести принимается в виде
,
где
-
структурный параметр, называемый
функцией поврежденности или растрескивания.
Так
как повреждение тела начинается на
самых ранних этапах деформирования и
возрастает с течением времени вплоть
до разрушения, то функция
должна удовлетворять условиям
,
(2.92)
где
-
время до начала разрушения.
Накопление повреждений – случайный процесс, и поэтому, согласно представлениям статистической физики, изменение поврежденности можно описать некоторым кинетическим уравнением вида
.
Функцию F и параметры процесса определяют экспериментально с привлечением практических и теоретических соображений. При этом существенно, чтобы функция и параметры могли быть найдены из достаточно простых опытов.
Если
внешние условия фиксированы и с течением
времени структурных изменений нет, то
скорость роста поврежденности определяется
приведенным напряжением, равным
,
где
- функция сплошности [17]. Тогда процесс
ползучести и сопутствующий ему процесс
разрушения описывается следующей
системой кинетических уравнений:
Удобной аппроксимацией функции F является степенная зависимость
,
(2.93)
где
A
>
0 – некоторый коэффициент;
-
показатель трещинообразования,
соответствующий определенным внешним
условиям.
Если разрушению предшествуют малые деформации, то можно пренебречь изменением напряжений во времени и из уравнения (2.93) при условии (2.92) найти время до начала разрушения:
(2.94)
Сопоставляя время t с экспериментальным временем разрушения, можно найти параметры A и n. Для этого проводятся испытания на длительную прочность, которые состоят в том, что серия образцов подвергается нагружению различной интенсивности, при этом время разрушения каждого образца фиксируется. Каждому значению напряжения соответствует свое время . Зависимость между и называется диаграммой длительной прочности. Она строится в логарифмических координатах.
Рис. 21. Диаграмма длительной прочности водонасыщенного гипса
1, 2 – соответственно при = 0 и = 100 МПа
В качестве примера на рис.21 показаны диаграммы длительной прочности водонасыщенного гипса, построенные по данным справочника [Справочник физических констант горных пород под редакцией С.Кларка]. Из формулы (2.94) имеем
.
По
наклону прямой длительной прочности
находим показатель n,
а по положению некоторой точки (на рис.
21 ее координаты показаны пунктиром)
определяют коэффициент А.
для прямой 1:
n
= 6;
;
для прямой 2:
n
= 7;
.
Если процесс ползучести описать степенной зависимостью вида
,
то на втором и третьем участках кривой ползучести накапливаемую деформацию можно вычислить по формуле
(2.95)
сравнение этой зависимости с экспериментальной может служить контролем правильности выбранной аппроксимации.
Время , в течение которого исчерпывается несущая способность материала, является наиболее универсальным критерием длительной прочности или долговечностью материала. Наиболее известная в литературе формула для вычисления долговечности
(2.96)
получена
С.Н. Журковым на основе термофлюктационной
концепции для твердых полимеров и
пригодна для горных пород. Здесь
-
период колебания атомов в твердых телах,
для всех полимеров он примерно одинаков
и равен
с,
для горных пород того же порядка;
-
энергия активации процесса термодеструкции;
-
структурно-чувствительный параметр; R
– универсальная газовая постоянная
Больцмана; T
– абсолютная температура. Параметры
и
определяют
по линейной диаграмме длительной
прочности в координатах
и
.
Согласно данным работы [8], для песчаника,
песчанистого сланца и глинистых сланцев
и
35 ккал/моль,
соответственно.
Если напряжение зависит от времени, но скорость изменения напряжения невелика, структура и температура материала не изменяются, то согласно принципу суммирования повреждений время до разрушения определится из уравнения
,
(2.97)
где
- долговечность при постоянном напряжении,
равном мгновенному значению
.
В общем случае критерий разрушения имеет вид
.
Отсюда следует, что в любых условиях механического и теплового воздействия долговечность является функционалом от параметров напряжения, температуры и структуры тела.
В
условиях сложного напряженного состояния
в уравнениях (2.93) – (2.97) вместо
необходимо использовать некоторое
приведенное напряжение, в качестве
которого чаще всего используется
интенсивность напряжения
[см. формулу (1.41)].