5. Нелинейный закон фильтрации

Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Рис. 11. Возможные виды нелинейного закона фильтрации

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

4. высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

5. ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

6. малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрации с предельным градиентом

(2.63)

где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.

В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации

,

(2.64)

,

(2.65)

которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления; - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).

Лекция 4

Решение линейных стационарных задач фильтрации (формула дюпюи и ее обобщения)

Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.

1. Первая основная граничная задача фильтрации

(пласт однородный изотропный пористый )

однородной невесомой жидкостью вязкости заполнены поры пласта

режим ламинарный жесткий или установившийся

Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:

1. однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью ограничен непроницаемыми плоскостями и (кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями (стенка скважины), (поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия

(3.55)

2. поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;

3. фильтрация происходит при жестком или установившемся ламинарном режиме.

Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде

(3.56)

(3.57)

Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа

Общим решением этого уравнения является функция

(3.58)

где и – постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).

В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):

(3.59)

(3.60)

где – заданный перепад давления между скважиной и пластом.

При поглощении проявлении пласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность , в том числе и через стенку скважины,

(3.61)

где ; – соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м³/Па^.с.

Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.