3.3. Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Идеальной жидкостью называется жидкость абсолютно несжимаемая, обладающая абсолютной подвижностью частиц и не имеющая вязкости. Анализ движения такой жидкости позволит выяснить основные закономерности, которые после учета сил трения дадут возможность производить расчеты потока.

Вырежем в жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz

и отбросим окружающую жидкость. Заменим воздействие окружающей жидкости на параллелепипед силами (рис. 3.3).

На грань 1234 действует сила

,

(3.11)

на грань 5678 –

.

(3.12)

Массовая сила G в проекции на ось х запишется так:

,

(3.13)

где Х – проекция ускорения массовой силы на ось х.

Применим к рассматриваемому элементу теорему количества движения. Изменение количества движения массы жидкости, сосредоточенной внутри объема, происходит вследствие того, что каждая частица, перемещаясь, с течением времени занимает новое положение и приобретает новую скорость, а также потому, что в каждой точке пространства скорость меняется во времени.

Введем импульс массовых сил в проекции на ось х:

.

(3.14)

Тогда суммарный импульс равен изменению количества движения:

(3.15)

Следовательно,

.

(3.16)

Аналогично выводятся зависимости для других осей.

Таким образом, получим дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости:

	;	(3.17)
	;
	.

Уравнения (2.17) показывают, что ускорение жидкого элемен­та вызывается соответствующими изменениями сил давления, дейст­вующих на этот элемент, и массовыми силами.

Уравнения Эйлера могут быть при известных условиях проинтег­рированы. Пусть имеет место стационарное течение. Умножим левую и правую части каждого уравнения соответственно на dx , dy, dz и произведем почленное сложение:

.

(3.18)

Предположим, что в жидкости действуют только силы тяжести. Тогда Х = 0; Y = 0; Z = – g.

Для установившегося движения, когда p = f(x,y,z),

.

(3.19)

Так как , то

.

(3.20)

Итак, дифференциальное уравнение (3.18) примет вид:

(3.21)

или

.

(3.22)

После интегрирования уравнения (3.22) получим:

.

(3.23)

Выражение (3.23) представляет собой уравнение (интеграл) Бернулли для установившегося течения струйки несжимаемой жид­кости. В уравнении (3.23) – геометрический и пьезометрический напор, – скоростной (динамический) напор.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли сумма скорост­ного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная для любых

сечений элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении (рис. 3.4).

И звестно, что представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, а – удельную кинетичес-кую. Исходя из этого уравнение Бернулли устанавливает постоянство суммы удельных кинетической и потенциальной энергии идеальной жидкости в установившемся движении и является частным случаем закона сохранения энергии.