Властивості операції множення вектора на число

1. Дистрибутивність числового множника відносно суми векторів .

2 Дистрибутивність векторного множника відносно суми чисел .

3. Асоціативність .

Лінійною комбінацією п векторів називається сума добутків цих векторів на довільні дійсні числа , тобто вираз, що має вигляд

. (3.2)

Теорема 3.1. Якщо вектор колінеарний вектору і , то існує дійсне число таке, що .

П риклад 1. Вектори і є діагоналями паралелограма . Виразити вектори , , і через вектори і .

 Нехай О – точка перетину діагоналей (рис. 3.5).

Оскільки і вектори і мають протилежні напрями, то . Аналогічно . Оскільки і вектори і мають однакові напрями, то . Аналогічно . Із рівності випливає, що .

Аналогічно



3. Векторний добуток.

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається символами або і визначається такими трьома умовами:

1. довжина вектора дорівнює , де ;

2. вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3. якщо , то вектори , і утворюють праву трійку векторів.

Алгебраїчні властивості векторного добутку

1 . Антикомутативність множення:

,

тобто від перестановки множників векторний добуток змінює знак. Це випливає з того, що вектори і мають однакові модулі, колінеарні і трійка векторів і протилежної орієнтації (рис. 3.6).

2. Асоціативність відносно скалярного множника :

.

3. Дистрибутивність відносно додавання векторів:

.

Алгебраїчні властивості векторного добутку дають змогу при множенні лінійних векторів виконувати дії так само, як з алгебраїчними многочленами. Проте при виконанні векторного множення слід пам’ятати, що воно некомутативне: при переставлянні співмножників знак векторного добутку змінюється на протилежний.

Геометричні властивості векторного добутку

1. Векторний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці вектори колінеарні.

2. Модуль векторного добутку неколінеарних векторів дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто

. (3.3)

3. Векторні добутки ортів задовольняють такі рівності:

Приклад 2. Обчислити , якщо , , .





Вираз векторного добутку через координати

Нехай в прямокутній системі координат задано вектори і . Покажемо, що векторний добуток вектора на вектор визначається за формулою

. (3.4)

Використовуючи теорему 8.1 про розклад визначника, маємо

(3.5)

Приклад 3. Знайти площу трикутника, заданого вершинами , , .

 Площа трикутника АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . Оскільки , і за формулою (3.4)

,

то за формулою (3.5) площа . 

Тема 4. Прямокутні координати та їх застосування.

1. Прямокутні координати та їх застосування.

2. Поділ відрізка у даному відношенні.

3. Центр мас.

4. Полярна та циліндрична системи координат.

   1. Полярна система координат

   2. Циліндрична система координат