2. Лінії другого порядку.

1. Еліпс.

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок тієї ж площини, які називаються фокусами еліпса, є величина стала, причому більша, ніж відстань між фокусами.

2.1.1. Канонічне рівняння еліпса

Щоб вивести рівняння еліпса, візьмемо на площині дві точки і – фокуси еліпса і розмістимо ДПСК так, щоб вісь абсцис проходила через фокуси, а початок координат ділив відрізок навпіл (рис.10.4).

П означимо відстань між фокусами, яку називають фокальною, через 2с, тобто , тоді фокуси матимуть у вибраній ДПСК координати та . Нехай – довільна точка еліпса. Відстані та називаються фокальними радіусами точки М. Покладемо (*), тоді згідно означення еліпса 2а – величина стала, причому , тобто . Тоді за формулою (8.15) знаходимо і . Підставивши знайдені значення і в рівність (*), отримаємо рівняння еліпса

. (5.6)

Перенесемо один з доданків з лівої частини рівняння в праву , піднесемо до квадрату: , отримаємо , знову піднесемо до квадрату , тобто . Так як , то , тому покладемо

, (5.7)

тоді останнє рівняння набуде вигляду або

. (5.8)

Так як координати х і у будь-якої точки М еліпса задовольняє рівняння (10.6), то вони задовольняють і рівняння (10.8).

Справедливим є і обернене твердження: якщо координати точки М(х; у) задовольняють рівняння (10.8), то вона належить еліпсу. Нехай М(х; у) – довільна точка, координати якої задовольняють рівняння (10.8). З рівняння (10.8) маємо (**), тоді , звідки . Підставивши рівність (**) в формули фокальних радіусів, отримаємо

і .

Але так як і , то і . Звідки і , значить, , тобто точка М(х; у) дійсно належить еліпсу.

Рівняння (10.8) називається канонічним рівнянням еліпса.

Приклад. 10.7. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точки і , якщо його фокуси лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат.

 За умовою дані точки належать еліпсу, значить, їхні координати задовольняють рівняння (10.8), тобто і . Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо . Отже, шукане рівняння має вигляд .

2.1.2. Дослідження форми еліпса

Д ля дослідження форми еліпса складемо порівняльну таблицю, в лівому стовпці якої будемо аналізувати властивості його рівняння, а в правому – записувати відповідні властивості фігури на площині відносно обраної ДПСК.

Т аблиця 5.1

Властивості канонічного рівняння еліпса	Властивості фігури
1. Координати точки О(0; 0) на задовольняють рівняння.	1. Еліпс не проходить через початок координат.
2. Система, складена з рівняння еліпса (ІІ-го порядку) та прямої (І-го порядку), має не більше двох розв’язків:	2. Пряма перетинає еліпс не більш як в двох точках:
1)	1) еліпс з віссю абсцис має дві спільні точки з координатами і ;
2) .	2) еліпс з віссю ординат має дві спільні точки з координатами і .
3. Області зміни х і у визначаються нерівностями і , тобто та	3. Всі точки еліпса знаходяться всередині прямокутника, обмеженого прямими , , , , (рис. 10.5).
4. Змінні х та у входять до рівняння в парних ступенях.	4. Еліпс симетричний відносно координатних осей, і, значить, відносно початку координат.
5. З рівняння маємо і .	5. При зростанні від 0 до а величина спадає від b до 0, а при зростанні від b до 0 величина спадає від 0 до а.

Прямокутник, зображений на рис. 10.5, тобто обмежений прямими та , називається основним прямокутником еліпса.

Врахувавши всі властивості фігури, вказані в таблиці 10.1, можна зробити висновок, що еліпс має форму, зображену на рис. 10.6.

Точки називаються вершинами еліпса. Відрізок , де , , , називається великою віссю еліпса, а , – великою напіввіссю еліпса; відповідно відрізок , де , називається малою віссю еліпса, а – малою напіввіссю еліпса. Вісі і є осями симетрії еліпса, а точка О – центром симетрії (або просто центром) еліпса.

Приклади. 10.8. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо фокусна відстань дорівнює 10, а мала вісь дорівнює 6.

 Так як мала вісь дорівнює 6, то мала напіввісь –3, тобто , . За формулою (10.7) , тоді , значить, . Отже, . 

10.9. Визначити довжини осей та координати фокусів еліпса .

 Розділивши обидві частини рівняння на 1176, зведемо його до канонічного вигляду . Звідси , . За формулою (10.7) маємо , звідки , отже, , значить і . 