Занятие 5. Сочетания без повторений и с повторениями

Цель: Изучить на практике методику расчета числа сочетаний без повторений и с повторениями

.Содержание:

Задание 11 (на число сочетаний без повторений).

Задание 12 (на число сочетаний с возможными повторениями).

Задание 13 (на число сочетаний с обязательными повторениями).

Задание 11 (на число сочетаний без повторений).

Сколько различных подарков по m различных предметов в каждом можно составить, выбирая предметы без повторения из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Сочетаниями без повторений или просто сочетаниями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из m различных элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.

При этом т < n, поскольку не допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов. (Здесь и далее под неупорядоченным набором из т элементов понимается их линейно неупорядоченное множество, аналогичное множеству разноцветных шаров, помещенных в урну, причем нет никакого порядка в их вза­имном расположении.)

Число всех сочетаний элементов п различных типов по неупорядоченным наборам из т различных элементов (обозначается ) есть = =n!/(m!(n-m)!) (числа часто называют биномиальными коэффициентами).

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.

В задании 11 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = n!/(m!(n-m)!). Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем = 5!/(3)!(5-3)!)= 5!/((3)!2!)=120/(62)=10.

Ответ: =10, т. е 10 различных подарков по m=3 различных предметов в каждом можно составить, выбирая предметы без повторения из следующего набора n=5 предметов

Задание 12 (на число сочетаний с возможными повторениями).

Сколько различных подарков по m предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ С ВОЗМОЖНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.

При этом возможно и т ≤ п, и т > п, поскольку допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов.

Число всех сочетаний с повторениями элементов л различных типов по неупорядоченным наборам из т элементов (обозначается ) есть = = .

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.

В задании 12 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем = =(n+m-1)!/(m!(n-1)!). Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем =(5+3-1)!/(3! (5-1)!)= =7!/((3)!4!)=5040/(624)= 35.

Ответ: =35, т. е. 35 различных подарков по m=3 предмета в каждом можно составить, выбирая предметы с возможностью повторения из набора n=5 штук разных предметов.

Задание 13 (на число сочетаний с обязательными повторениями).

Сколько различных подарков по m предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с обязательными повторениями из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ С ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Пусть A - множество сочетаний элементов с возможными их повторениями из n по m элементов, B - множество сочетаний элементов без возможности их повторениями из n по m элементов. Очевидно, число элементов n(A) множества A равно , а число элементов n(B) множества B равно . Так как множество B есть подмножество множества A, то BA, поэтому число элементов их пересечения равно n(A∩B)=n(B)= . Наконец, пусть A\B - множество сочетаний элементов с обязательными повторениями из n по m элементов. Тогда по следствию из правила суммы число элементов последнего множества A\B равно n(A\B)= =n(A)-n(A∩B)= - .

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

РЕШЕНИЕ.

В задании 13 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем n(A\B)= - = - =35-10=25.

Ответ: n(A\B)= 25, т. е 25 различных подарков по m=3 предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с обязательным повторением из набора n=5 штук разных предметов.