6.4. Определение памяти автомата

В этом параграфе мы рассмотрим следующую задачу. Заданы характеристические функции f_z и f_s автомата (в табличной форме, в виде графа или в матричной форме). Определить, является ли этот автомат автоматом с конечной памятью, и, если является, то, как определить его память?

Рассмотрим автомат М с множеством состояний {σ₁, σ₂, ..., σ_n}. Пусть Q^(l)_k обозначает множество всех последовательностей вход-выход, описываемых путями длины k, которые заканчиваются в состоянии σ_i. По лемме 6.1, если М является автоматом с памятью µ, то

По теореме 6.1, если М не является автоматом с конечной памятью, то

Следовательно, для определения памяти автомата можно сформулировать следующий алгоритм.

Алгоритм 6.1. Задан автомат М с множеством состояний {σ₁, σ₂, ..., σ_n}; требуется найти память автомата М. (1) Полагаем k=1. (2) Составляем последовательность Q⁽¹⁾_k,

Q⁽²⁾_k, ..., Q⁽ⁿ⁾_k,. (3) (а) Если Q⁽ⁱ⁾_k ∩ Q^(j)_k ≠ 0 для некоторых i и j ≠ i, то переходим к (4). (б) Если Q⁽ⁱ⁾_k ∩ Q^(j)_k = 0 для всех i и j ≠ i, то k является памятью М. (4) (а) Если k<n(n—1)/2, то увеличиваем k на 1 и возвращаемся к (2). (б) Если k = n(n—1)/2, то М не является автоматом с конечной памятью.

Выполнение алгоритма 6.1 облегчается при использовании матриц переходов высокого порядка, введенных в главе 2. В клетке (i, j) матрицы переходов k-го порядка записаны все пути длины k, ведущие из состояния σ_i в состояние σ_j. Поэтому клетки j-го столбца матрицы представляют все пути длины k, заканчивающиеся в состоянии σ_j. Таким образом, последовательности вход-выход, представленные путями, перечисленными в столбце матрицы ,

являются элементами множества Q^(j)_k . По матрице и диаграмме переходов для автомата М может быть построена таблица, в которой j-й столбец содержит элементы Q^(j)_k; если нет двух столбцов, имеющих общий член, то k должно быть памятью автомата М.

В качестве примера рассмотрим автомат A28, показанный на рис. 6.6. Матрица переходов автомата A28 задана

выражением (6.23), а матрица переходов первого порядка — выражением (6.24).

По (6.24) и (6.23) можно построить таблицу 6.3, в которой перечислены Q⁽¹⁾₁, Q⁽²⁾₁, Q⁽³⁾₁, Q⁽⁴⁾₁.

Так как последовательности вход-выход (0/1) и (1/1) появляются в двух различных столбцах этой таблицы, память автомата A28 будет превышать 1. Выражение (6.25)

представляет собой матрицу переходов второго порядка для автомата A28.

По (6.25) и (6.23) можно построить таблицу 6.4, в которой перечислены Q⁽¹⁾₂, Q⁽²⁾₂, Q⁽³⁾₂, Q⁽⁴⁾₂.

Автомат A28 должен иметь память 2, так как никакая последовательность вход-выход не появляется в двух различных столбцах этой таблицы. Если бы автомат A28 не был автоматом с конечной памятью, то этот факт обнаружился бы из таблицы, перечисляющей Q⁽¹⁾₆, Q⁽²⁾₆, Q⁽³⁾₆, Q⁽⁴⁾₆.

6.5. Минимальная X-z-функция

Если известна память µ конечного автомата М, то автомат может быть охарактеризован уравнением вида

Функцию f, соответствующую выражению (6.26), будем называть x-z-функцией автомата М. Часто x-z-функция содержит целый ряд несущественных переменных и может быть сведена к виду

где 0 ≤ i₁ < i₂ < ... < i_u, 1 ≤ j₁ < j₂ < ... < j_v, а i_u = µ и (или) j_v = µ. Функция f называется минимальной x-z-функцией М, если u + vг»—минимальное число аргументов х_i и z_i, необходимых для выражения z, как функции входных воздействий и выходных реакций в форме (6.27). Таким образом, минимальная x-z-функция получается из x-z-функции путем вычеркивания из последней максимально возможного числа аргументов x_i и z_i. Получение минимальной x-z-функции, или минимизация x-z-функции представляет интерес для целого ряда задач анализа и синтеза, когда для заданного конечного автомата желательна наиболее компактная форма его описания, т. е. форма (6.27).

Задача минимизации x-z-функции может быть сформулирована более точно на языке x-z-таблицы, общая форма которой показана в таблице 6.5.

Таблица разделена на q групп строк, по одной группе для каждого выходного символа в выходном алфавите {ζ₁, ζ₂, ..., ζ_q} автомата M c n состояниями. Группу строк, обозначенную в столбце z_v символом ζ_k, будем называть ζ_k –гpyппой. Столбцы x_v-µ, z_v-µ, x_v-µ+1, z_v-µ+1, ..., x_v-1, z_v-1, x_v заполняются следующим образом. Пусть (ξ_i/ζ_k)является парой вход-выход, связанной с дугой, которая начинается в состоянии σ_i, и пусть (ξ_i1/ζ_k1) (ξ_i2/ζ_k2) ... (ξ_iµ/ζ_kµ) -

последовательность вход-выход в множестве Q⁽ⁱ⁾_µ (такие последовательности могут быть получены из таблицы для Q⁽¹⁾_µ, Q⁽²⁾_µ, ..., Q^(k)_µ построенной для определения µ по алгоритму 6.1). Тогда последовательность символов ξ_l1, ξ_k1, ξ_l2, ξ_k2, ..., ξ_lµ, ξ_kµ, ξ_l (записанная в таком порядке) является строкой ζ_k группы. Следуя этим правилам в отношении всех n состояний, можно заполнить все клетки таблицы. Если число последовательностей в Q⁽ⁱ⁾_µ равно r_i и число,символов вход-входного алфавита равно р, то число строк в x-z-таблице равно . Таким образом x-z-таблица является табличным воспроизведением x-z-функции, в котором значения z_v перечисляются для каждого из тех упорядоченных наборов зна-

чений (2µ+l) переменных (x_v-µ, z_v-µ, x_v-µ+1, z_v-µ+1, ..., x_v-1, z_v-1, x_v), которые могут встретиться в данном автомате. Например, таблица 6.6 является x-z-таблицей автомата A28, показанного на рис. 6.6.

Из матрицы (6.23) видно, что пара вход-выход (0/0) связана с дугой, которая начинается в состоянии 1. Из таблицы 6.4 видно, что множество Q⁽¹⁾₂ состоит из последовательностей вход-выход (1/1) (1/0) и (0/1) (1/0). Следовательно, 0-группа в x-z-таблице должна содержать строки 1,1,1.0,0 и 0,1,1,0,0. Остальные строки в таблице 6.6 заполняются аналогичным образом. Чтобы облегчить последующее изложение материала, придадим строкам и столбцам этой таблицы порядковые номера.

Задача минимизации x-z-функции на языке x-z-таблицы может быть сформулирована следующим образом: вычеркнуть максимальное число столбцов из таблицы так, чтобы ни одна строка любой одной группы не стала одинаковой ни с какой строкой любой другой группы. Пусть столбцами, которые остались после такого вычеркивания, являются x_v-i1, z_v-i2, ..., x_v-iu, z_v-j1, z_v-j2, ...,z_v-jv. Поскольку v+u обязательно является минимальным числом аргументов и поскольку ни один упорядоченный набор значений u + v переменных не появляется в двух различных ζ_k-группах x-z-таблицы, мы имеем:

где f—минимальная x-z-функция.

Таким образом, чтобы найти минимальную x-z-функцию, можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 6.2. Задана х-z-таблица автомата М. Чтобы определить минимальную x-z-функцию М: (1) Полагаем h = 1. (2) Для каждой комбинации из h столбцов проверяем, делает ли вычеркивание остающихся столбцов строки из различных ζ_k групп одинаковыми. (3) (а) Если каждая комбинация делает строки в различных ζ_k-группах одинаковыми, то увеличиваем h на единицу и возвращаемся к (2). (б) Если есть

комбинация, которая не делает строки в различных ζ_k-группах одинаковыми, то берем эту комбинацию, соответствующую

столбцам x_v-i1, x_v-i2, ..., x_v-iu, z_v-j1, z_v-j2, ...,z_v-jv. Минимальная x-z-функция определяется выражением (6.28).

Выполнение алгоритма 6.2 становится значительно проще, если учесть следующие факты: (1) Каждая рассматриваемая комбинация из h столбцов должна включать либо столбец x_v-µ, либо столбец z_v-µ. (2) Если две строки, принадлежащие двум различным ζ_k -группам, отличаются символами в единственном столбце, то этот столбец включается в каждую рассматриваемую комбинацию из h столбцов. (3) Столбец, который содержит один итот же символ в каждой строке, не должен включаться ни в какую рассматриваемую комбинацию из h столбцов. (4) Два одинаковых столбца вместе не должны включаться ни в какую рассматриваемую комбинацию из h столбцов.

Например, в таблице 6.6 можно заметить, что строки 3 и 18 различаются только значением переменной в столбце 2. Строки 1 и 16 различаются только значением переменной в столбце 4, строки 1 и 6 — только в столбце 5. Следовательно, при применении алгоритма 6.2 столбцы 2, 4 и 5 должны включаться в любую рассматриваемую комбинацию из h столбцов. Проверка строк в этих трех столбцах показывает, что нет такой строки в 0-группе, которая была бы одинаковой с какой-либо строкой в 1-группе. Таким образом, для автомата A28 можно записать:

В этом выражении число аргументов минимально.

Минимальная x-z-функция может быть представлена в табличной форме путем вычеркивания из x-z-таблицы найденных по алгоритму 6.2 столбцов и объединения всех одинаковых строк. Получаемая в результате таблица называется минимальной х-z-таблицей. Минимальная x-z-таблица для автомата A28 показана в таблице 6.7.