8.6. Разбиение при помощи таблиц Рk

За исключением простейших случаев, процесс определения эквивалентного разбиения заданного автомата путем исследования таблиц переходов, графов или матриц, по существу, невозможен.

В этом параграфе мы опишем метод, по которому разбиение может быть выполнено систематически путем построения серий так называемых таблиц Р_k.

Таблица P_k заданного автомата, по существу, представляет собой то же, что и подтаблица s_v+1 для этого автомата со следующими отличиями: (1) Если {σi₁, σi₂, ..., σi_r} представляют собой класс Р_k, то строки σi₁, σi₂, ..., σi_r группируются вместе, при этом каждая группа строк отделяется линией от соседних групп. Порядок групп в таблице и порядок строк в каждой группе произвольны. Строки, принадлежащие к одной и той же группе и, следовательно, представляющие класс k-эквивалентности, будем называть смежными строками; строки, принадлежащие к различным группам, будем называть разобщенными строками. (2) Добавляется столбец 2, в котором указывается обозначение групп в таблице P_k. Обозначение групп произвольно и может выбираться независимо в каждой новой таблице P_k. (3) Каждое значение s_v+1 снабжается индексом, указывающим группу, к которой данное значение относится. Так, если строка σ_i; находится в группе, обозначенной «a», то каждое значение σ_i в подтаблице s_v+1 снабжается индексом «а».

Таблицы 3.3—3.6 являются таблицами Р₁, Р₂, Р₃ и Р₄ для автомата A7, изображенного на рис. 3.3.

Построение таблицы P₁ Изменим порядок строк в таблице переходов таким образом, чтобы одинаковые строки в подтаблице zv стали соседними. Каждая группа таких строк соответствует классу 1-эквивалентности, и, следовательно, является группой смежных строк в таблице Р1. Теперь можно построить таблицу Р₁ путем вычеркивания подтаблицы z_v, разделения групп строк линиями, добавления столбца 2 и снабжения индексами значений s_v+1, как было описано выше. В качестве иллюстрации сошлемся на таблицы 3.2 и 3.3.

Построение таблицы Р_k+1 по таблице P_k(k≥1). Две смежные строки в таблице Р_k, имеющие во всех столбцах

одинаковые индексы, являются смежными в таблице Р_k+1. Две смежные строки в таблице Р_k, имеющие в некоторых столбцах различные индексы, являются разобщенными в таблице Р_{k + 1}. Разобщенные строки в таблице Р_k являются также разобщенными в таблице Р_{k + 1}. Группа, состоящая из одной строки в таблице P_k, состоит из одной строки и в таблице Р_k+1. Таким образом, группы таблицы Р_{k + 1} могут быть выявлены проверкой индексов в таблице Р_k. После того как группы установлены, сама таблица может быть построена по описанному выше образцу. Приведенные здесь правила прямо вытекают из способа приписывания индексов и из описанных в § 3.5 условий определения P_{k + 1} по Р_k.

В качестве примера рассмотрим таблицу Р₃ автомата А7, представленную таблицей 3.5. В группе «а» одинаковые индексы во всех столбцах имеют строки 1, 3 и 8 и строки 5

и 7. (Индексы в строках 5 и 7 отличаются от индексов в строках 1,3 и 8.) Следовательно, строки 1, 3 и 8 и строки 5 и 7 образуют две группы строк в таблице Р₄. В группе «b» все строки имеют одинаковые индексы во всех столбцах, поэтому группа без изменений остается в таблице Р₄. Группы «с» и «d», содержащие по одной строке, могут быть перенесены без изменения в таблицу Р₄.

Если известны способы построения таблицы Р₁, а также таблицы P_{k + 1} по таблице P_k(k ≥ 1), то можно строить таблицы Р_k для последовательных значений k до тех пор, пока не будет получена таблица, в которой все смежные строки имеют одинаковые индексы во всех столбцах. В основном столбце в этих смежных строках обозначены эквивалентные состояния, а следовательно, группы последних представляют собой искомые классы эквивалентности. Согласно теореме 3.5, это условие должно иметь место для некоторого значения k ≤ n — 1. Для автомата А7 этому условию удовлетворяет таблица Р₄ (таблица 3.6).

Эквивалентное разбиение для А7 поэтому будет

Р: {1. 3, 8}, {2, 4}, {5, 7}, {6}. {9}. (3.9)