Глава 6 автоматы с конечной памятью
6.1. Введение
Главное преимущество при использовании модели конечного автомата для представления заданной системы заключается в том, что предсказание выходной реакции системы не требует каких-либо данных относительно прошлого поведения системы. Для того чтобы предсказать выходную реакцию в любой заданный момент времени, достаточно знать входное воздействие и состояние в этот момент времени. Тогда, состояние автомата в настоящий момент времени можно рассматривать как особую «величину», которая в неявной форме объединяет все прошедшие события, относящиеся к определению выходной реакции в настоящий момент времени. Здесь может возникнуть следующий вопрос: всегда ли можно установить точное соотношение между выходной реакцией в настоящий момент времени и входным воздействием в настоящий момент времени и конечным числом входных воздействий и выходных реакций в предшествующие моменты времени? Отрицательный ответ на этот вопрос легко может быть продемонстрирован на простом автомате A26, показанном на рис. 6.1. В этом автомате конечное состояние остается неизвестным до тех пор, пока не будет приложен вход а и определена соответствующая выходная реакция. Так, знание того, что прошлые / входных символов были β и прошлые l выходных символов были 0, бесполезно для предсказания выходной реакции А26 на приложенный входной символ а, независимо от значения l. Поэтому для данного автомата исследование его прошлого поведения не всегда помогает в предсказании выходной реакции на входное воздействие
в настоящий момент времени. Значит, в общем случае не существует явной зависимости, которая выражала бы выходную реакцию в настоящий момент времени как функцию входного воздействия в настоящий момент времени и входных воздействий и выходных реакций в предшествующие моменты времени. В связи с этим можно заключить, что состояние конечного автомата отражает его «бесконечную память» в том смысле, что пребывание автомата в этом состоянии является результатом события, которое происходило сколь угодно далеко в прошлом. Например, состояние, в которое приходит автомат А26 после приложения последовательности аβββ ... β произвольной длины, однозначно определяется выходной реакцией на первый символ этой последовательности.
В этой главе мы будем рассматривать конечные автоматы не общего вида, а лишь те, в которых может быть установлена явная зависимость между входными воздействиями и выходными реакциями в прошедшие и настоящие моменты времени. Хотя такие автоматы представляют собой довольно узкий класс, они являются достаточно обычными в практике, чтобы оправдать подробное их обсуждениех33.
6.2. Представление систем с конечной памятью
Системой с конечной памятью называется система, представимая конечным автоматом, в котором выходная реакция в любой дискретный момент времени зависит только от конечного ненулевого числа прошлых входных воздействий (и, возможно, от входного воздействия в настоящий момент времени)34 и от конечного числа прошлых выходных реакций. Значит, система с конечной памятью представима конечным автоматом, соотношение вход-выход которого может
быть записано в форме
где принято, что 0 ≤ l1 < l2 < ... < iu и 1 ≤j1 < j2 < ... < jv. Если добавить ряд несущественных переменных 35 и принять lu = µ1 и j0 = µ2, то уравнение (6.1) можно записать в виде
Для того чтобы преобразовать приведенное характеристическое уравнение в характеристические стандартные функции fz и fs конечного автомата, переменную s определим так, чтобы sv являлась упорядоченным набором значений (µ1 + µ2) переменных (xv-1, xv-2, ..., xv-µ1, zv-1, zv-2, ..., zv-µ2),. Равенство (6.2) тогда примет вид
Уравнения (6.3) и (6.6) могут рассматриваться как характеристические функции конечного автомата. Следовательно, множество упорядоченных наборов значений (µ1-µ2) переменных (xv-1, xv-2, ..., xv-µ1, zv-1, zv-2, ..., zv-µ2) адекватно множеству состояний системы, представленной урав-
нением (6.2). Если число символов входного и выходного алфавитов для системы соответственно равно р и q, то мощность множества состояний будет
В качестве примера рассмотрим устройство А27. На устройство периодически поступают цифры 0 и 1, выход его в момент tv равен сумме по модулю 2 выхода в момент tv-1 и входа в момент tv-2. Обозначая сложение по модулю 2 знаком 36, Л27 может быть охарактеризовано равенством
Добавляя несущественные переменные xv и xv-1 вместо (6.8) получим:
Входной алфавит в этом случае
X={0, 1},
а выходной алфавит
Z={0. 1}.
Множество состояний является множеством всех упорядоченных наборов значений трех переменных (xv-1, xv-2, zv-1):
Зависимость между xv, sv, sv+1 и zv может быть представлена в табличной форме, как показано в таблице 6.1. Столбцы таблицы под «sv» представляют все упорядоченные наборы значений трех переменных; каждый набор записан дважды (по одному разу для каждого значения xv). Столбцы, озаглавленные «sv+1», могут быть заполнены путем воспроизведения ранее заполненных столбцов (таких как xv и xv-1) и
путем использования соотношения (6.8) (для столбца zv). Показанную таблицу удобно использовать для определения характеристических функций fz и fs автомата А27. Например,
по четвертой строке можно сказать, что если входной символ 1 появляется при состоянии (0, 0, 1), то выходной символ будет 1 и следующее состояние (1, 0, 1). Применяя подобные рассуждения по отношению к другим строкам, построим таблицу переходов А27 (см. таблицу 6.2).
В общем случае автомат, полученный описанным способом, не минимальный. Однако, минимальная форма всегда может быть определена любым из методов минимизации, описанных в главе 3. Минимальная форма автомата А27 показана на рис. 6.2, где состояния 1, 2, 3 и 4 представляют эквивалентные классы {(1, 0, 0), (1,1, 1)}, {(0, 0, 1), (0, 1, 0)}, {(0, 0, 0), (0, 1. 1)} и {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} соответственно.
