1.4. Конечность алфавита

Следующее предположение, которое должно быть сделано для основной модели с конечным числом состояний, заключается в том, что каждая переменная может принимать только конечное число различных значений (которые по своей природе могут быть числовыми или не числовыми).

Множество¹ значений, которые переменная v может принимать, называется алфавитом переменной ν и обозначается через V; элемент ν алфавита V называется символом. Пусть K⁽¹⁾, K⁽²⁾, ... K^(m) — конечные множества с соответствующими элементами и пусть множество обозначает множество всех упорядоченных m-значных наборов ( ). Если входные переменные данной системы суть x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ... , x^(u) , то входной алфавит этой системы, обозначаемый через X, определяется выражением

, (1.1)

где X⁽ⁱ⁾, i = 1, 2, …, u, - алфавит x⁽ⁱ⁾.

Аналогично, если выходные переменные системы суть z⁽¹⁾, z⁽²⁾, ..., z^(w), то выходной алфавит Z системы определяется выражением

, (1.2)

где Z^(j), j = 1, 2, ..., w, — алфавит z^(j). Если Х⁽ⁱ⁾ имеет мощность p_i, a Z^(j) мощность q_j, то мощности р для X и q для Z выражается соответственно формулами:

, (1.3)

, (1.4)

Мощности р и q конечны.

И з определения входного алфавита X видно, что одного символа входного алфавита — входного символа — достаточно для описания всех и входных переменных в любой заданный момент времени t_ν. Аналогично из определения выходного алфавита Z видно, что одного символа выходного алфавита — выходного символа — достаточно для описания всех w выходных переменных в любой заданный момент времени t_ν. Следовательно, входные переменные x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ... , x^(u) могут быть заменены одной входной переменной х, алфавит которой X определяется выражением (1.1). Выходные переменные z⁽¹⁾, z⁽²⁾, ..., z^(w) могут быть заменены одной выходной переменной z, алфавит которой Z определяется выражением (1.2).Соответственно u входных клемм можно заменить одной входной клеммой. В результате получим схематичное изображение, имеющее вид двухклеммного ящика (рис. 1.3), которое является стандартным представлением основной модели конечного автомата.

Для иллюстрации рассмотрим вычислительное устройство, которое имеет две входные линии х⁽¹⁾ и x⁽²⁾ : по линии х⁽¹⁾ подаются символы 0 и 1, по линии x⁽²⁾ — символы 1, 2 и 3.

В произвольные моменты времени t_ν устройство выдает величины и .

Таким образом, имеем:

X⁽¹⁾ = {0,1}, X⁽²⁾ = {1, 2, 3},

Z⁽¹⁾ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, Z⁽²⁾={0, 1, 2, 3}

и, следовательно,

X = { (0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)},

Z = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3), (5,0), (5,1), (5,2), (5,3), (6,0), (6,1), (6,2), (6,3)}

1.5. Состояния

В то время как в качестве входов и выходов выбираются такие переменные, которые исследователь может наблюдать и измерять, природа промежуточных переменных часто может оставаться неизвестной, а измерение их — невозможным. Значение промежуточных переменных, однако, заключается не в характере изменения каждой из них, а скорее в их комбинированном действии на зависимости между входными и выходными переменными. Это комбинированное действие, так же как и переменные, вызывающие его, подчинено предположениям о дискретности времени и конечности алфавита, введенным в §§ 1.3 и 1.4. Указанное действие называется состоянием системы. Состояние системы в момент t_ν будем обозначать через s_ν. Набор всех возможных состояний системы, которые ей присущи, называется множеством состояний и обозначается через 5.

Понятие состояния может быть строго определено, исходя из той роли, которую оно играет в определении основной модели конечного автомата. Эта роль может быть выражена следующими двумя положениями: (1) выходной символ в данный момент времени однозначно определяется входным символом и состоянием в данный момент; (2) состояние в следующий момент времени однозначно определяется входным символом и состоянием в настоящий момент времени.

Таким образом, грубо говоря, состояние конечного автомата в любой заданный тактовый момент является той переменной, которая вместе с входным символом дает возможность

определить выходной символ в данный тактовый момент и состояние в следующий тактовый момент². В качестве примера рассмотрим игру, в которой монета повторно подбрасывается и производятся отметки при появлении каждого первого герба в серии гербов и каждой, исключая первые две, цифры в серии цифр. В этом примере системой является игра, синхронизирующим источником — игрок, а синхронизирующим сигналом — операция бросания монеты; входной переменной является сторона монеты, выходной переменной — отметка при броске. Тогда входной алфавит будет {цифра, герб}, а выходной—{отметка, нет отметки}. Для определения множества состояний находят такое множество условий (которые могут быть выражены словесно, символами, в числовом виде или в какой-нибудь другой удобной форме), чтобы по известному в настоящий момент условию и стороне монеты однозначно определялось наличие или отсутствие отметки в настоящий момент и условие в следующий. Из описания игры можно установить, что для того, чтобы предсказать отметку, необходимо знать стороны монеты в настоящий момент и в два предыдущих. Временно примем следующее множество состояний {появление первой цифры, появление двух цифр, появление первого герба], где «появление первой цифры» — состояние системы, когда цифра выпала первый раз после герба, «появление двух цифр» — состояние системы, когда цифра выпала после цифры, и «появление первого герба» — состояние системы, когда герб выпал после герба или после цифры. Отметка производится каждый раз, когда система находится в состоянии «появление двух цифр» и входом является цифра или когда система находится в состоянии, отличном от состояния «появление первого герба», и входом является герб. Если состояние в настоящий момент — «появление первой цифры» или «появление двух цифр», то состояние в следующий момент будет «появление двух цифр», если входом является цифра, и «появление первого герба», если входом является герб. Если состояние в настоящий момент — «появление первого герба», то состояние в следующий момент будет «появление первой цифры», если входом является цифра, и «появление первого герба», если входом является герб. Таким образом, подтверждается, что выбранное множество состояний отвечает предъявляемым требованиям, так как по известному состоянию системы и входу в настоящий момент может быть определен выход в настоящий момент и состояние в следующий. Выбор множества состояний в общем случае является сложной задачей, которая решается не обязательно однозначно. Так как не существует общих правил для выбора множества состояний, то часто прибегают к методу последовательного приближения путем проб и ошибок. Затраты времени на выбор состояний и их число, вообще говоря, зависят от интуиции и степени знания исследуемой системы.