5.6. Некоторые свойства сильносвязных автоматов

Обратимым автоматом называется автомат, который всегда возможно установить в начальное состояние. Ясно, что каждый сильносвязный автомат является обратимым. Обратное утверждение, однако, неправильно: обратимый автомат не обязательно сильносвязный.

Теорема 5.7. Автомат, в котором каждый изолированный подавтомат является сильносвязным, является обратимым.

Доказательство. Пусть имеется автомат М, который состоит из изолированных подавтоматов М₁, М₂, ..., M_N.

Если начальным состоянием автомата М является состояние σ_i подавтомата M_j, то его конечное состояние σ´_i для любой входной последовательности также должно принадлежать M_j. Поскольку M_j является сильносвязным, всегда возможен переход в σ_i из σ´_i. Последнее означает, что М — обратимый автомат.

Теорема 5.8. Обратимый автомат является сильносвязным тогда и только тогда, когда он не содержит изолированных подавтоматов.

Доказательство. Ясно, что если обратимый автомат состоит из двух и более изолированных подавтоматов, то он не может быть сильносвязным. Теперь предположим, что обратимый автомат М не содержит изолированных подавтоматов, но содержит преходящий (а значит, и тупиковый) подавтомат. Это означает, что в автомате М может быть начальное состояние, в которое нельзя вернуться, и, следовательно, что автомат М не является обратимым. Тогда из полученного противоречия следует, что автомат М не может включать в себя преходящих тупиковых подавтоматов. Так как автомат является сильносвязным тогда, когда он не содержит преходящих, тупиковых, изолированных подавтоматов, то, следовательно, если обратимый автомат не содержит изолированных подавтоматов, он должен быть сильносвязным.

Важным свойством сильносвязного автомата является то, что он всегда может быть установлен в любое заданное конечное состояние.

Теорема 5.9. Пусть М является сильносвязным автоматом с п состояниями. Тогда он может быть установлен в любое заданное состояние простым условным экспериментом длины l и порядка d, где

Доказательство. Используя выражения (4.23) и (4.24), автомат М всегда можно перевести в известное (но не обязательно заданное) конечное состояние простым условным экспериментом длины n(n— 1)/2 или менее и порядка n— 1 или менее. После того как автомат будет переведен в

известное состояние, может быть приложена дополнительная последовательность, которая переведет его из этого состояния в любое заданное состояние (такая последовательность всегда существует, поскольку М, по предположению, является сильносвязным). Согласно теореме 2.2, длина этой дополнительной последовательности не превышает n—1. Таким образом, общая длина эксперимента будет

Общий порядок при этом будет определяться выражением

5.7. Распознавание сильносвязных (n, р, q)-автоматов

Частичное знание внутренней структуры заданного автомата во многих случаях позволяет выявить его входной и выходной алфавиты и число его состояний. Например, если автомат представляет собой вычислительный прибор, то эта информация может быть получена из знания входного устройства, выходного устройства и числа элементов памяти

прибора. Если число входных символов равно р, число выходных символов—q, а число состояний — q, то эта информация равносильна утверждению, что заданный автомат является (n, р, q)-автоматом. Если, кроме того, известно, что автомат сильносвязный, то можно утверждать, что заданный автомат является сильносвязным (n, р,q)-автоматом.

Класс сильносвязных (n, р, q)-автоматов такой, что никакие два автомата из этого класса не являются эквивалентными, будем обозначать через C_n,p,q. Очевидно, что C_n,p,q является подклассом класса минимальных (n, р, q)-автоматов таких, что никакие два автомата из этого класса не эквивалентны друг другу. Согласно теореме 3.7, последний класс является конечным и, следовательно, C_n,p,q должен быть также конечным. Используя выражение (3.21), находим, что мощность класса C_n,p,q, обозначаемая | C_n,p,q |, определяется выражением

Поскольку, согласно теореме 5.6, C_n,p,q представляет собой исключительный класс, любой его член может быть определен простым безусловным экспериментом длины l, где, по следствию 5.1,

Таким образом имеем:

Теорема 5.10. Если известно, что автомат М является сильносвязным (n, р, q)-автоматом, то М всегда может быть распознан простим безусловным ¦экспериментом длины l, где

Например, сильносвязный (2, 2, 2)-автомат может быть распознан простым безусловным экспериментом, длина которого не будет превышать 725 символов.