5.5, Сильносвязные автоматы

В этом параграфе рассмотрим важный класс автоматов, называемых «сильносвйзными автоматами».

Определение 5.1. Автомат М с множеством состояний {σ₁, σ₂, ..., σ_n} называется сильносвязным, если существует входная последовательность, которая переводит автомат М из любого заданного состояния σ_i в любое заданное состояние σ_j (где i может равняться j).

Из определения следует, что сильносвязные автоматы не могут содержать в себе никаких преходящих, тупиковых или изолированных подавтоматов. И наоборот, любой автомат, который содержит преходящий, тупиковый или изо-

лированный подавтомат, не может быть сильногвязным автоматом. Таким образом, сильносвязным является такой автомат, в котором можно перейти в каждое состояние независимо от предыстории автомата.

Цена и сложность многих автоматов, представляющих собой практические устройства, возрастает с увеличением числа их состояний. Поэтому во многих автоматах, конструируемых для практического использования, избегают наличия преходящих и изолированных подавтоматов (они представляют потенциальные убытки, так как их состояния недостижимы). Таким образом, сильносвязные автоматы представляют собой класс автоматов, которые часто встречаются на практике.

Лемма 5.1. Если автоматы М₁ и М₂ являются сильносвязными и различимыми, то ни одно состояние в М₁ не эквивалентно какому-либо состоянию в М₂.

Доказательство. Пусть множеством состояний автомата М₁ будет множество {σ₁, σ₂, ..., σ_n}, а множеством состояний автомата М₂—{σ´₁, σ´₂, ..., σ´_n}. Предположим, что в автомате М₁ имеется состояние σ_i, которое эквивалентно некоторому состоянию σ´_j, в М₂ Пусть ε₁ будет входной последовательностью, которая переводит автомат М₁ из состояния σ_i в σ₁, a ε_k — входной последовательностью, переводящей автомат М₁ из состояния σ_k-1 в состояние σ_k для k = 2, 3, ..., n₁ (все такие последовательности существуют, поскольку автомат М₁ сильносвязный). Приложим последовательность ε₁ε₂...ε_k к М₁|σ_i.и М₂|σ´_j. После приложения последовательности ε₁ε₂...ε_k окажется в состоянии σ´_jk, а M₂, — в некотором состоянии σ´_jk. Так как σ_i = σ´_j, то их преемники по отношению к любой входной последовательности должны быть эквивалентными, следовательно, σ_k=σ´_jk. для k = 2, 3,...,n₁. Таким образом, для каждого состояния в М₁ существует эквивалентное состояние в М₂. Теперь пусть ε´₁ будет входной последовательностью, которая переводит автомат М₂ из состояния σ´_j в σ´_i, a ε_k — входной последовательностью, которая переводит М₂ из состояния σ´_k-1 в σ´_k для k = 2, 3, ..., n₂ (все такие последовательности существуют, так как М₂ — сильносвязный автомат). Приложим последовательность ε´₁ε´₂...ε´_k к М₁|σ_i.и М₂|σ´_j

После приложения ε´₁ε´₂...ε´_k М₂ окажется в состоянии σ´_k, а М₁ — в некотором состоянии σ_ik. Поскольку σ_i = σ´_j, то мы должны получить, как и прежде, σ´_k = σ_ik для k=1, 2, ..., n₂, то есть для каждого состояния в М₂ существует эквивалентное состояние в М₁. Таким образом показано, что если σ_i = σ´_j, то М₁ = М₂. Это противоречит условию теоремы и, следовательно, ни одно состояние в М₁ не может быть эквивалентным какому-либо состоянию в М2.

Теорема 5.6. Если Ṁ = {М₁, М₂, ..., M_N} является конечным классом сильносвязных автоматов таких, что среди них никакие два автомата не являются эквивалентными, то класс Ṁ является исключительным.

Доказательство. Предположим, что Ṁ не является исключительным классом. Тогда в некотором автомате M_i должно существовать состояние, эквивалентное некоторому состоянию в другом автомате M_j (j ≠ i). Однако, согласно лемме 5.1, это невозможно, поскольку M_i и M_j различимы и сильносвязны. Полученное противоречие доказывает, что класс Ṁ должен быть исключительным.

Объединяя теоремы 5.3 и 5.6, получим

Следствие 5.3. Если известно, что автомат принадлежит к определенному конечному классу сильносвязных автоматов, то он всегда может быть распознан. Процедура распознавания сильносвязного автомата и оценка длины распознающего эксперимента идентичны процедуре и оценке, представленным в предшествующих параграфах.