2.10. Элементарные пути

Путь πij₁πi₁j₂ ... πi_k-1j ведущий из σ_i, в σ_j, называется элементарным путем (длины k), если индексы i, i₁, i₂, ..., i_k-1, j различны. Он называется элементарным контуром (длины k), если индексы i, i₁, i₂, ..., i_k-1, j различны, i = j. Таким образом, элементарный путь (элементарный контур) является разомкнутым (замкнутым) путем, который не проходит ни через одно состояние более одного раза.

Отсюда имеем:

Лемма 2.4. В автомате с n состояниями длина элементарного пути не может быть больше n - 1, а длина элементарного контура не может быть больше n.

Путь, не являющийся элементарным, называется избыточным. В следующем параграфе будут рассмотрены некоторые задачи, в которых представляют интерес только элементарные пути. В случае, когда это имеет место, все члены πij₁πi₁j₂ ... πi_k-1j, у которых не все индексы i, i₁, i₂, ..., i_k-1, j различны, могут быть исключены из матрицы переходов k -го порядка , получаемая при таком исключении матрица обозначается так: . Элемент (i, j) матрицы представляет собой множество всех элементарных путей длины k, ведущих из σ_i в σ_j в автомате М. Матрица записывается в виде и является матрицей , в которой все диагональные элементы исключены (т. е. все диагональные элементы заменены нулями).

Лемма 2.5. содержит все элементарные пути, содержащиеся в .

Доказательство. Процесс умножения на , как следует из (2.21), эквивалентен увеличению длины к каждого пути, представленного в , до длины k+1 посредством присоединения к концу пути одной из дуг, представленных в матрице . Если путь из k дуг матрицы или присоединенная дуга избыточны, то результирующий путь длины k+1 также должен быть избыточным. Следовательно, произведение , где образуется путем вычеркивания из всех избыточных путей длины 1 и образуется путем вычеркивания из всех избыточных путей длины k, должно содержать все элементарные пути, содержащиеся в . Так как = то лемма доказана.

Лемма 2.5 означает, что в процессе построения из все избыточные пути можно исключать по мере их появления в любой промежуточной матрице, так как это исключение никакого влияния на образование элементарных путей не оказывает. Этот результат позволяет предложить упрощенный метод получения значительно менее трудоемкий, чем метод, по которому сперва получают и затем исключают из все избыточные пути.

Алгоритм 2.4. Дана , надо построить для i > 1. (1) Строим , заменяя все диагональные элементы в нулями. Полагаем k=1. (2) Строим . В произведении матриц заменяем каждый член, представляющий избыточный путь, нулем. Пусть результирующая матрица будет . (3) (а) Если k+1<i, то увеличиваем k на 1 и возвращаемся к (2). (б) Если k+1 = i, то =

Матрицы (2.26)—(2.29) иллюстрируют применение алгоритма 2.4 для построения , , и по матрице , представленной выражением (2.24).

Можно заметить, что, в то время как число ненулевых членов в имеет тенденцию расти по экспоненте с ростом k, число членов в имеет тенденцию оставаться постоянным до определенного значения величины k и уменьшаться для больших значений k. Действительно, из леммы 2.4 можно заключить, что если М является автоматом с n состояниями, то для всех k≥n состоит полностью из нулевых членов.