2.6. Аналитическая модель магнитного поля Земли

Магнитные съемки, выполненные в разные годы, необходимо приводить к единой временной эпохе, и кроме того, следует установить единый уровень нормального магнитного поля относительно аномального поля на разобщенных площадях. Для решения задач картографии выбирается представление об аналитической модели главного магнитного поля. Крупным событием в становлении разработки модели магнитного поля Земли стала теория, предложенная К. Гауссом в 1838 г. Данная теория дает возможность представить магнитное поле Земли как функцию координат точки измерения, что позволяет решать ряд задач научного и практического характера. Теория Гаусса в настоящее время снова приобретает актуальное значение в связи с освоением околоземного космического пространства, измерением в нем компонент магнитного поля и привязкой наблюдений к координатам пунктов наблюдений. Аналитическое описание магнитного поля всего земного шара имеет большое научное значение как аппарат для анализа его эволюции и предсказания изменений элементов магнитного поля в будущем.

Чтобы рассмотреть эту теорию, необходимо обратиться к исследованиям, выполненным в 1835 г. русским ученым, профессором Казанского университета И.М.Симоновым. Он сделал предположение, что магнитное поле Земли является полем однородно намагниченного шара, магнитная ось которого проходит через центр земного шара, параллельно линии, соединяющей магнитные полюсы. Решение поставленной задачи заключалось в нахождении поля однородно намагниченного шара как функции координат.

Из теории потенциальных полей /37/ известно, что потенциал однородно намагниченного шара в точке Р выражается формулой

(2.3)

где θ – угол между осью магнита ОQ и направлением радиуса-вектора ОР = r (рис.2.9).

Рис.2.9. К выводу потенциала магнитного шара

Ось вращения Земли ON составляет с магнитной осью OQ угол 90 – φ₀. Соединяя точки P, Q и N дугами больших кругов, находим из сферического треугольника PQN:

где φ и λ – широта и долгота точки Р, а φ₀ и λ₀ – широта и долгота точки Q и, следовательно,

. (2.4)

Представим магнитный момент М как произведение намагниченности J и объема шара:

где R – радиус шара.

Если введем следующие обозначения:

( 2.5)

то получим

. (2.6)

Так как дуга большого круга NP является меридианом точки P, то составляющая в направлении NP будет не чем иным, как северной составляющей X, а составляющая в направлении дуги малого круга PS, являющаяся параллелью, будет восточной составляющей Y, а составляющая в направлении радиуса вектора r будет вертикальной составляющей Z. Поэтому получим следующие закономерности:

(2.7)

К.Ф.Гаусс в 1938 г. сделал предположение, что магнитное поле Земли вызывается источниками, находящимися внутри земного шара, имеющими потенциальный характер. В этом случае магнитный потенциал шара можно записать в следующем виде:

(2.8)

где R – радиус Земли, r, θ и λ - сферические координаты точки (начало координат в центре Земли, r – расстояние от центра Зем

ли, θ – дополнение широты до 90⁰, λ - восточная долгота), g_n^m и h_n^m - постоянные коэффициенты Гаусса; P_n^m(cosθ) – присоединенный полином Лежандра степени n и порядка m. Для точек, находящихся на поверхности земного шара (r=R), магнитный потенциал можно переписать в виде

. (2.9)

Теория Гаусса лежит в основе сферического гармонического анализа магнитного поля Земли. Модель поля фиксированной эпохи конструируется путем усечения рядов формулы (2.9) по n, а их параметры определяются по измеренным значениям элементов земного магнетизма X, Y и Z на поверхности Земли. Задача сводится к решению системы линейных уравнений относительно коэффициентов Гаусса, которые определяются либо методом наименьших квадратов, либо интегральными методами, основанными на свойстве ортогональности сферических функций.

Формула Гаусса (2.9) дает возможность при известных коэффициентах g_n^m и h_n^m определить величину магнитного момента земного шара, его направление и градиенты элементов земного магнетизма в любой точке пространства. Магнитный момент земного шара по этим коэффициентам можно определить так:

.

Измерения, проводимые на земной поверхности и в космосе, позволяют определять коэффициенты гауссового ряда. С учетом изменения их величин во времени Международная ассоциация по геомагнетизму и аэрономии каждые пять лет утверждает модель, именуемую Международным аналитическим эталонным полем.