Решение уравнений статического режима

Для статического режима система уравнений схемы имеет вид

f₁(u₁, u₂, ... ,u_n) = 0,

f₂(u₁, u₂, ... ,u_n) = 0,

…………………..

f_n(u₁, u₂, ... ,u_n) = 0,

или в векторной форме

F(U) = 0 (2.10)

Полагая, что система уравнений (2.10) имеет решение U*, разложим каждую функцию в ряд Тейлора в окрестности решения и сохраним в этом разложении только члены первого порядка малости. В результате приходим к линеаризованной системе уравнений:

(2.11)

Где

(2.12)

- матрица Якоби вектор-функции F(U),

ΔU = U*-U, (2.13)

- вектор поправки.

Если приравнять нулю систему уравнений (2.11) и использовать верхние индексы для обозначения последовательности итераций, получим:

F(U ^k) + J ^k(U ^k+1 – U ^k) = 0. (2.14)

Решение уравнения (2.14) можно найти как

U ^k+1=U ^k(F(U ^k)). (2.15)

Перепишем модель (2.14) с учетом (2.13) в виде

J ^kΔU ^k = -F(U ^k). (2.16)

Решив систему линейных уравнений (2.16), можно определить ΔU^k, a затем определить U^k+1 из выражения:

U ^k+1=U ^k + AU ^k+1.

Приближенное решение U ^k+1 необходимо получить с наперед заданной точностью ε>0, т.е. U ^k+1 должно принадлежать ε-окрестности точного решения U^*. К сожалению, точка U^* неизвестна, что не позволяет вычислить норму.

, (2.17)

и определить, выполняется ли условие:

. (2.18)

На практике достигнутую в процессе итераций точность обычно оценивают по норме вектора поправок или по норме вектора невязок . При высокой скорости сходимости итерационной последовательности к точному решению поправка на (k+l)-й итерации будет заметно меньше по абсолютной величине, чем поправка на k-й итерации, и в этих условиях принимают допущение , откуда следует, что вычисления необходимо прекращать при выполнении условия:

. (2.19)

Рассмотренный подход к решению системы уравнений (2.10) является реализацией метода Ньютона-Рафсона.

При реализации любого метода в программах машинного анализа схем, необходима уверенность, что решение будет достигнуто. Поэтому необходимо использование приемов, повышающих вероятность сходимости ньютоновских итераций. Некоторые из них, наиболее часто применяемые на практике, рассмотрены в источнике [5].

3 Малосигнальный анализ схемы в частотной области

Анализ электронных схем в частотной области допустим в предположении их функционирования в режиме малого сигнала и линеаризации характеристик элементов в окрестности рабочей точки, определяемой статическим режимом. Для формирования математической модели схемы и определения функций цепи применяют прямые и косвенные методы. К прямым методам расчета цепей относятся методы, в которых непосредственно используются законы Ома и Кирхгофа. К косвенным методам относятся методы эквивалентных преобразований сопротивлений, методы эквивалентных преобразований источников и другие.