Идея метода

Два одинаковых физических маятника совершают колебания в одной плоскости. Маятники соединены пружиной, для которой предварительно определен по закону Гука коэффициенты упругости. Исследуются режимы колебаний, соответствующие разным начальным условиям. Процесс колебаний регистрируется на персональном компьютере (ПК) с помощью датчиков углового смещения и программного обеспечения. По графикам колебаний измеряются периоды колебаний и периоды изменения их амплитуд (периоды биений). Затем рассчитываются частоты колебаний. Меняя положение соединительной пружины, можно исследовать зависимость частот от расстояния между точкой связи и осью вращения и сравнить ее с теоретической зависимостью.

Для определения парциальных частот колебаний в режиме "биений" можно использовать метод преобразования Фурье, заложенный в программу обработки результатов записи колебаний.

Коэффициенты связи маятников вычисляются двумя разными способами (через физические параметры колебательной системы и через нормальные частоты колебаний).

Описание установки и ее подготовка к работе

Общий вид установки показан на рис. 9.

а	б
	в

Рис. 9. Общий вид установки:

а) маятники; б) записывающее устройство; в) Cobra 3.

Установка состоит из двух маятников, закрепленных на краю стола, источника питания, универсального измерительного прибора Cobra, ПК с программным обеспечением. Маятник представляет собой достаточно легкий стержень, к которому прикреплена гиря. Масса гири m = 1 кг. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса l = 101.5 см. В первом приближении массу стержня можно не учитывать.

Подготовьте установку к работе в следующей последовательности.

1. Добейтесь, чтобы колебания маятников происходили в одной плоскости. Это важно для избежания возникновения поперечных колебаний. Исправить настройку можно путём поворота гирь, закрепленных на стержнях.

2. Входные разъемы маятников (красный и синий) подключите параллельно к источнику питания (рис. 9б). Установите выходное напряжение источника постоянного тока, равное 10 В.

3. Подключите желтые выходные разъемы маятников к аналоговым входам установки Cobra 3 (рис. 9в). Чтобы понизить уровень шума, используйте на аналоговых входах установки конденсаторы ёмкостью 10 мкФ.

4. Подключите установку Cobra 3 к USB или com порту ПК.

Внимание! Перед включением приборов в сеть пригласите преподавателя или инженера для проверки схемы.

Упражнение 1. Определение коэффициента упругости соединительной пружины

1. Закрепите пружину на штативном стержне. К другому концу пружины подвесьте держатель грузов. Установите вертикальную линейку и отметьте начальное положение держателя (х₀).

2. На держатель устанавливайте последовательно грузы 10, 20, 30, 40, 50 г. Для каждого груза отмечайте координату держателя (х₁, х₂, …).

3. Найдите растяжение пружины, вызванное каждым грузом, как

4. Постройте график зависимости Δх от деформирующей силы F = mg.

5. Исходя из полученного в п.4 графика и закона Гука F = к·|Δх|, рассчитайте значение коэффициента упругости к пружины. Он равен тангенсу угла наклона линейного участка зависимости F = f(|Δх|).

Упражнение 2. Определение собственных частот колебаний несвязанных маятников и вычисление их момента инерции

1. Подготовьте установку к работе в соответствии с тем, как описано ранее. После проверки схемы запустите программу измерений (measure). В меню "прибор" (Gauge) выберите действие записи измерений «универсальный измеритель» (universal write). Параметры измерений показаны на рис. 10.

2. Проверьте, что маятники не соединены пружиной. Отклоните маятники из положения равновесия на 5—10º и отпустите их. После установления равномерного колебательного процесса (≈30 с) начните измерения, нажав на кнопку «далее». Процесс записи колебаний должен происходить не менее двух-трёх минут. При запуске измерений секундомер включается автоматически. Одновременно записываются колебания обеих маятников. После команды завершения измерений на экране появляются графики колебаний. Выбирая аналогичные входы 1 или 2 (U1, U2), можно наблюдать на экране монитора графики колебаний каждого маятника в отдельности.

Рис. 10. Окно программы – параметры измерений

3. С помощью функции «обзор» (survey) (#) по графикам несколько раз (не менее 5) определите период колебаний Т₀ для каждого маятника. Выбирайте разные этапы колебательного движения. Результаты усредните и рассчитайте погрешность. Средние значения периодов колебаний обоих маятников должны быть одинаковы в пределах погрешности. В противном случае требуется регулировка длины стержней маятников.

4. Вычислите собственную частоту колебаний несвязанных маятников: ω₀ = 2π/Т₀ (по средним значениям Т₀).

5. По формуле (10) вычислите момент инерции каждого из маятников (I). Момент инерции маятника складывается из моментов инерции гири (I₁) и стержня (I₂).

6. Рассчитайте момент инерции гири (I₁), считая ее материальной точкой по формуле: I₁ = mr², где r – расстояние от центра масс гири до точки подвеса (измерьте его самостоятельно). Определите момент инерции стержня: I₂ = I – I₁. Сделайте выводы.

Упражнение 3. Определение собственных частот колебаний связанных маятников

1. Пластиковые муфты на стержнях маятников расположите на расстоянии l₁ = 30 см от точки подвеса и зафиксируйте в них соединительную пружину (рис. 8, 9). Убедитесь, что маятники электрически не связаны.

2. Отклоните оба маятника от положения равновесия в одну и ту же сторону на один и тот же угол и отпустите их. Убедитесь, что маятники совершают синфазные колебания. Запустите программу измерений и запишите графики колебаний "в фазе". С помощью функции "обзор" (#) несколько раз определите период Т₀₁ для колебаний "в фазе". Измерения проводите для каждого маятника. Значения периодов колебаний усредните (Т_01ср). Погрешность можно не вычислять, считая, что она соответствует значениям, определённым в упр. 2.

3. Отклоните оба маятника от положения равновесия на один и тот же угол, но в разные стороны и отпустите их. Убедитесь, что маятники совершают колебания "в противофазе". Запустите программу измерений и запишите графики колебаний "в противофазе". С помощью функции "обзор" (#) несколько раз определите период Т₀₂ для колебаний "в противофазе". Полученные значения периодов колебаний усредните (Т_02ср.).

4. Измените расстояние l₁ от точки связи до точки подвеса и снова определите периоды колебаний "в фазе" Т₀₁ и в "противофазе" Т₀₂. Рекомендуется исследовать колебания связанных маятников при l₁ = 30, 40, 50, 60, 70 см.

5. Рассчитайте собственные частоты для двух режимов колебаний ω₀₁ и ω₀₂. Результаты представьте в виде таблицы, указав l₁, Т_01ср, Т_02ср, ω₀₁, ω₀₂.

6. Проанализируйте зависимости собственных частот ω₀₁ и ω₀₂ от длины участка соединения l₁. Постройте графики зависимостей:

   • ω₀₁ = f(l₁)

   • 

Сравните полученные зависимости с теоретическими, используя для этого формулы (10), (14').

7. По формулам (10), (14') рассчитайте собственные частоты колебаний связанных маятников ω₀₁ и ω₀₂, используя данные о физических параметрах системы. Сравните эти значения с экспериментальными результатами, полученными в п.5.

Упражнение 4. Изучение произвольного режима колебаний связанных маятников (режим "биений")

1. Установите муфты с соединительной пружиной на первоначальном расстоянии от точки подвеса l₁ = 30 см. Задайте следующий режим колебаний: первый маятник удерживайте в положении равновесия, а второй – отклоните на небольшой угол 5—10º. Затем маятники одновременно отпустите.

2. После установления равномерного колебательного процесса (~30 с) запустите программу измерений, как в упр. 2 и 3 и записывайте колебания в течение 2—3 минут. По завершении измерений в окне программы отобразятся графики колебаний обоих маятников. Выбирая аналоговые входы "U1" или "U2", выделите график колебания каждого маятника в отдельности. Зарисуйте графики колебаний. Примерный график колебаний представлен на рис. 11. Обратите внимание на фазовый сдвиг амплитуд колебаний двух маятников.

3. Определите парциальные частоты ω₁ и ω₂ двух колебаний, из которых складывается результирующее колебание каждого из маятников. Сделайте это можно двумя способами.

I способ. По формулам (11) рассчитайте ω₁ и ω₂. Используя графики колебаний, с помощью функции "обзор" (#) несколько раз (не менее 5) определите на разных этапах движения период колебаний Т_кол и период биений Т_б (см. рис. 4). Полученные значения усредните.

Рис. 11. График зависимости углового смещения маятника от времени

4. II способ. Откройте окно "Анализ"/"Изменение каналов". Установите параметры, изображенные на рис. 12. Для определения частот колебаний в окне "Анализ" выберите опцию "Фурье-анализ". Фурье-анализ рассчитывает спектральный состав (набор частот) модулированного колебания, совершаемого связанными маятниками. С помощью функции "лупа" можно увеличить нужную часть спектра. Примерный спектр колебания в режиме "биений" представлен на рис. 12. Частоты ω₁ и ω₂ определите по спектру колебания с помощью функции "обзор" (#).

Рис. 12. Определение частот ω₁ и ω₂ с помощью Фурье-анализа

Рис. 13. Определение частот ω₁ и ω₂ с помощью Фурье-анализа

5. Аналогичные измерения (п.п. 1—4) проделайте для других расстояний l₁. Рекомендуется взять l₁ = 30, 40, 50, 60, 70 см. Результаты представьте в таблице, указав l₁, Т_кол, Т_б, ω₁, ω₂.

6. Постройте графики зависимости Сравните полученные зависимости с теоретическими, задаваемые формулами (15), (16).

Упражнение 5. Определение коэффициента связи колебательной системы

1. На основе формулы (13) и данных о значении ω₀, полученных в упр. 2, рассчитайте коэффициент связи системы D для разных длин сцепления l₁. Используйте значения l₁, для которых проводился опыт. Результаты представьте в таблице, указав l₁, к. m, l, ω₀, D.

2. Используя данные, полученные в упр. 3, рассчитайте коэффициент связи D через собственные частоты колебаний связанной системы ω₀₁ и ω₀₂ для всех длин сцепления l₁. Из формулы (14) следует, что коэффициент связи Результаты представьте в виде таблицы, указав l₁, ω₀₁, ω₀₂, D.

3. Постройте графики зависимости по данным п. 2 и п. 3. Сравните полученную зависимость с теоретической.