Уравнения движения системы двух связанных маятников

Р ассмотрим систему двух одинаковых физических маятников, связанных легкой пружиной. Пусть эти маятники совершают колебания в одной плоскости. Колебания возникают при выведении маятников из положения равновесия. Система имеет две степени свободы. Схема связанных маятников изображена на рис. 8. Приняты следующие обозначения: m – масса одного маятника без учета массы пружины; l – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса; l₁ – расстояние от точки прикрепления пружины до точки подвеса; φ₁ и φ₂ – углы отклонения от положения равновесия первого и второго маятника соответственно.

Рис. 8. Схема связанных маятников (φ₁ ≠ φ₂)

Основной закон динамики для вращательного движения утверждает, что где – момент действующих сил, I – момент инерции, – угловое ускорение.

Относительно точки подвеса вращательные моменты создают две силы: сила тяжести и сила упругости соединительной пружины F_упр = –кΔх, к – коэффициент упругости пружины. Моменты этих сил соответственно равны:

Так как х₁ и х₂ – отклонения точек прикрепления пружины от своего положения равновесия (рис. 8), то деформация пружины и момент силы упругости

С учетом сказанного уравнения движения маятников можно записать в виде:

(12)

или

(12')

где частота колебаний несвязанного маятника (10); D – коэффициент связи системы.

Коэффициент связи системы характеризует степень связанности маятников друг с другом и зависит от физических параметров маятников и пружины, а именно:

(13)

Уравнения движения (12) имеют место при малых углах отклонения, когда .

Решение системы дифференциальных уравнений (12) зависит от начальных условий. Рассмотрим случаи, которые исследуются в лабораторной работе.

А. Колебания "в фазе".

Начальные условия: φ₁ = φ₂ = φ, т. е. φ₁ – φ₂ = 0. В этом случае каждое из уравнений (12) можно записать в виде Очевидно, маятники совершают гармонические колебания с частотой

(14₁)

Обратите внимание, что частота ω₀₁ равна собственной частоте колебаний маятника.

Б. Колебания "в противофазе".

Начальные условия: φ₂ = –φ₁ = φ, т. е. φ₂ – φ₁ = |2 φ|.

Для любого маятника уравнения (12) можно записать в виде:

;

Очевидно, и в этом случае маятники совершают гармонические колебания, частота которых

(14₂)

иначе

(14)

С учетом начальной разницы фаз, равной ±π, уравнения колебаний маятников имеют вид:

Обратите внимание, что частота противофазных колебаний больше частоты синфазных колебаний (ω₀₂ > ω₀₁).

В. Колебания в режиме "биений".

Осуществим колебания при следующих начальных условиях: один маятник отклоняем, второй удерживаем. Назовем такой режим режимом "биений".

Начальные условия: φ₁ = φ, φ₂ = 0, т. е. φ₁ – φ₂ = φ.

Решения дифференциальных уравнений (12) в этом случае имеют вид:

Если частоты ω₀₁ и ω₀₂ не сильно отличаются друг от друга, то частота колебаний ω_кол = ½( ω₀₁ + ω₀₂) примерно одного порядка с ω₀₁ (или ω₀₂). Но частота ½( ω₀₂ – ω₀₁) будет очень малой по сравнению с ω₀₁ (или ω₀₂). Графики колебаний φ₁(t) и φ₂(t) соответствуют "чистым биениям" (рис. 7).

Парциальные частоты (ω₁, ω₂) колебательных мод, на которые можно разложить движение с периодически изменяющейся амплитудой ("биение"), соответствуют формулам (11).

Также их можно выразить (14) через физические параметры системы, а именно:

(15)

(16)