Собственные колебания физического маятника

Ф изическим маятником называется твердое тело, свободно вращающееся около неподвижной оси, проходящей выше центра масс (рис. 5). Колебания происходят под действием силы тяжести. При отклонении тела от положения равновесия на угол φ возникает вращающий момент силы тяжести, равный:

(7)

где m – масса маятника; l – расстояние от точки подвеса до центра масс.

На основе закона динамики вращательного движения имеем:

(8)

Рис. 5. Физический маятник

(точка О – ось вращения, точка С – центр масс)

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; – угловое ускорение.

При малых углах отклонения и получаем:

(9)

Это уравнение по виду совпадает с (2). Следовательно, маятник будет совершать гармонические колебания около положения равновесия:

Причем циклическая частота колебаний будет равна:

(10)

Величина ω₀ называется собственной частотой колебаний физического маятника. Она зависит от свойств осциллятора (маятника, совершающего свободные гармонические колебания) и не зависит от начальных условий колебательного движения.

Собственные колебания связанных систем

Связанной называется система со многими степенями свободы, между частями которой имеются связи, обеспечивающие возможность обмена энергией. Примеры систем с двумя степенями свободы изображены на рис. 6.

Р ис. 6. Системы с двумя степенями свободы:

а) вертикальные колебания двух грузов на пружинах;

б) колебания в вертикальной плоскости двух маятников, связанных легкой пружиной

Можно наблюдать колебания трех, четырех и т. д. маятников, связанных пружинами. Если в такой системе отклонить каким-то образом один или несколько маятников, то увидим довольно сложную картину колебания каждого из маятников. Колебания каждого из маятников будут негармоничны.

Рассмотрим энергетику колебаний в одной из простейших систем (рис. 6). Отклоним один из маятников, а второй задержим в первоначальном положении. Далее одновременно их отпустим. В процессе колебаний первого маятника пружина сжимается и разжимается. Возникает сила упругости, которая действует как на первый, так и на второй маятник. В результате второй маятник тоже начинает раскачиваться. Так как энергия, сообщенная первому маятнику, передается отчасти второму, то амплитуда колебаний первого маятника постепенно убывает, а второго – растет. Все это будет продолжаться до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй при условии малости трения будет раскачиваться с такой же амплитудой, как и первый в самом начале процесса. Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый, и процесс п овторяется. Колебания каждого из маятников можно изобразить графиками (рис. 7).

Рис. 7. Колебания связанных маятников

Из графиков на рис. 7 следует, что связанные маятники совершают биения, описанные ранее. Колебания каждого маятника являются суммой двух колебательных процессов, вызванных силой упругости деформированной пружины и силой тяжести.

Если начальные условия колебаний будут другими (например, оба маятника отклоняем на разные углы), то колебания маятников будут соответствовать графику, приведенному на рис. 4. Глубина биений (изменений амплитуды) зависит от способа возбуждения колебаний.

Существует два способа возбуждения колебаний, при которых колебания каждого маятника будут гармоническими:

1. оба маятника отклонить одинаково в одну сторону и отпустить (колебания "в фазе");

2. оба маятника отклонить одинаково, но в разные стороны и отпустить (колебания "в противофазе").

В первом случае при движении маятников пружина не деформируется. Маятники колеблются под действием силы тяжести с частотой ω₀₁ (10), которая равна частоте колебаний несвязанных маятников. Во втором случае маятники совершают колебания в противофазе. Пружина деформируется, но средняя точка пружины остается в покое. Эту точку можно считать закрепленной. В этом случае частота колебаний маятников ω₀₂ > ω₀₁, так как к возвращающей силе тяжести прибавляется сила упругости.

Частоты ω₀₁ и ω₀₂, соответствующие колебаниям связанной системы двух маятников соответственно "в фазе" и "в противофазе", называются нормальными частотами системы.

При любом другом режиме колебаний наблюдаются биения. Это значит, что колебания каждого из маятников состоят из суммы двух гармонических колебательных мод с частотами

(11)

где Т_кол – период колебаний маятника; Т_б – период биений (изменений амплитуды) (рис. 4). Частоты ω₁ и ω₂ зависят от физических параметров маятника, момента инерции I, приведенной длины l (рис. 5), коэффициента упругости пружины к, расстояния l₁ от точки прикрепления пружины до оси вращения. От начальных условий частоты ω₁ и ω₂ не зависят и поэтому являются собственными частотами связанной системы.